2013年普通高等學校招生全國統一考試（四川卷）
數 學（理工類）
本試題卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁，共4頁．考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿紙上大題無效．滿分150分．考試時間120分鐘．考試結束后，將本試題卷和答題卡上一并交回．
第Ⅰ卷 （選擇題 共50分）
注意事項：
必須使用2B鉛筆在答題卡上將所選答案對應的標號涂黑．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．
1．設集合 ，集合 ，則 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．如圖，在復平面內，點 表示復數 ，則圖中表示 的共軛復數的點是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是（ ）
4．設 ，集合 是奇數集，集合 是偶數集．若命題 ，則（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5．函數 的部分圖象如圖所示，則 的值分別是（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．拋物線 的焦點到雙曲線 的漸近線的距離是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．函數 的圖象大致是（ ）
8．從 這五個數中，每次取出兩個不同的數分別為 ，共可得到 的不同值的個數是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．節日 家前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，若接通電后的4秒內任一時刻等可能發生，然后每串彩燈在內4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10．設函數 （ ， 為自然對數的底數）．若曲線 上存在 使得 ，則 的取值范圍是（ ）
（A） （B） （C） （D）
第二部分 （非選擇題 共100分）
注意事項：
必須使用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區域內作答．作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚．答在試題卷上無效．
二、題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11．二項式 的展開式中，含 的項的系數是____________．（用數字作答）
12．在平行四邊形 中，對角線 與 交于點 ， ，則 ____________．
13．設 ， ，則 的值是____________．
14．已知 是定義域為 的偶函數，當 ≥ 時， ，那么，不等式 的解集是____________．
15．設 為平面 內的 個點，在平面 內的所有點中，若點 到 點的距離之和最小，則稱點 為 點的一個“中位點”．例如，線段 上的任意點都是端點 的中位點．則有下列命題：
①若 三個點共線， 在線段上，則 是 的中位點；
②直角三角形斜邊的點是該直角三角形三個頂點的中位點；
③若四個點 共線，則它們的中位點存在且唯一；
④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．
其中的真命題是____________．（寫出所有真命題的序號）
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．(本小題滿分12分) 在等差數列 中， ，且 為 和 的等比中項，求數列 的首項、公差及前 項和．
17．(本小題滿分12分) 在 中，角 的對邊分別為 ，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， ，求向量 在 方向上的投影．
18．(本小題滿分12分) 某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量 在 這 個整數中等可能隨機產生．
（Ⅰ）分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出 的值為 的概率 ；
（Ⅱ）甲、乙兩同學依據自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復運行 次后，統計記錄了輸出 的值為 的頻數．以下是甲、乙所作頻數統計表的部分數據．
運行
次數
輸出 的值
為 的頻數
輸出 的值
為 的頻數
輸出 的值
為 的頻數
甲的頻數統計表（部分） 乙的頻數統計表（部分）
運行
次數
輸出 的值
為 的頻數
輸出 的值
為 的頻數
輸出 的值
為 的頻數
…………
當 時，根據表中的數據，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出 的值為 的頻率（用分數表示），并判斷兩位同學中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大；
（Ⅲ）按程序框圖正確編寫的程序運行3次，求輸出 的值為2的次數 的分布列及數學期望．
19．(本小題滿分12分) 如圖，在三棱柱 中，側棱 底面 ， ， ， 分別是線段 的中點， 是線段 的中點．
（Ⅰ）在平面 內，試作出過點 與平面 平行的直線 ，說明理由，并證明直線 平面 ；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中的直線 交 于點 ，交 于點 ，求二面角 的余弦值．
20．(本小題滿分13分) 已知橢圓 ： 的兩個焦點分別為 ，且橢圓 經過點 ．
（Ⅰ）求橢圓 的離心率；
（Ⅱ）設過點 的直線 與橢圓 交于 、 兩點，點 是線段 上的點，且 ，求點 的軌跡方程．
21．(本小題滿分14分)已知函數 ，其中 是實數．設 ， 為該函數圖象上的兩點，且 ．
（Ⅰ）指出函數 的單調區間；
（Ⅱ）若函數 的圖象在點 處的切線互相垂直，且 ，求 的最小值；
（Ⅲ）若函數 的圖象在點 處的切線重合，求 的取值范圍．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.www.sxccs.com/gaosan/76932.html
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