年高考數學總復習 12-1 幾何證明選講但因為測試 新人教B版

1. (2011•廣州調研)如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BC是直徑，N與⊙O相切，切點A，∠AB＝35°，則∠D＝(　　)

A．35°　　　　　　　 　B．90°
C．125° D．150°
[答案]　C
[解析]　連接BD，則∠AB＝∠ADB＝35°，由BC是直徑，知∠BDC＝90°，所以∠D＝∠ADB＋∠BDC＝125°.
2．()如圖所示，在▱ABCD中，BC＝24，E、F為BD的三等分點，則B－DN＝(　　)

A．6　　　　B．3　　　　
C．2　　　　D．4
[答案]　A
[解析]　∵E、F為BD的三等分點，四邊形為平行四邊形，
∴為BC的中點，連CF交AD于P，則P為AD的中點，由△BCF∽△DPF及為BC中點知，N為DP的中點，
∴B－DN＝12－6＝6，故選A.
(理)如圖，E是▱ABCD邊BC上一點，BEEC＝4，AE交BD于F，BFFD等于(　　)

A.45　　　B.49　　　
C.59　　　D.410
[答案]　A
[解析]　在AD上取點G，使AG?：GD＝1?：4，連結CG交BD于H，則CG∥AE，
∴BFFH＝BECE＝4，DHFH＝DGGA＝4，
∴BFFD＝45.
3．()(2010•廣東中)如圖，⊙O與⊙O′相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和，交A B的延長線于N，N＝3，NQ＝15，則PN＝(　　)

A．3 B.15
C．32 D．35
[答案]　D
[解析]　由切割線定理知：
PN2＝NB•NA＝N•NQ＝3×15＝45，∴PN＝35.
(理)(2011•海淀期末)如圖，半徑為2的⊙O中，∠AOB＝90°，D為OB的中點，AD的延長線交⊙O于點E，則線段DE的長為(　　)

A.55 B.255
C.355 D.32
[答案]　C
[解析]　延長BO交圓O于點F，由D為OB的中點，知DF＝3，DB＝1，又∠AOB＝90°，所以AD ＝5，由相交弦定理知AD•DE＝DF•DB，即5DE＝3×1，解得DE＝355.

4.如圖所示，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，將此矩形折疊使點B落在AD邊的中點E處，則折痕FG的長為(　　)

A．13 B.635
C.656 D.636
[答案]　C
[解析]　過點A作AH∥FG交DG于H，則四邊形AFGH為平行四邊形．∴AH＝FG.
∵折疊后B點與E點重合，折痕為FG，
∴B與E關于FG對稱．∴BE⊥FG，∴BE⊥AH.
∴∠ABE＝∠DAH，∴Rt△ABE∽Rt△DAH.
∴BEAB＝AHAD.∵AB＝12，AD＝10，AE＝12AD＝5，
∴BE＝122＋52＝13，∴FG＝AH＝BE•ADAB＝656.
5．()兩個相似三角形，面積分別為16c2和49c2，它們的周長相差6c，則較大三角形的周長為(　　)
A．21c B．2c
C．14c D.9811c
[答案]　C
[解析]　由 相似三角形面積比等于相似比的平方，周長比等于相似比知，周長之比為：4916＝74，設周長分別為7x和4x，則7x－4x＝6，∴x＝2，
∴較大三角形的周長為14c.
(理)如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，DE∥BC且ADDB＝2，那么△ADE與四邊形DBCE的面積比是(　　)[

A.23 B.25
C.45 D.49
[答案]　C
[解析]　∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC＝ADAB2，
∵ADDB＝2，∴ADAB＝23，∴S△ADE＝49S△ABC，
∴S四邊形DEBC＝59S△ABC，
∴S△ADES四邊形DBCE＝45，故選C.
6．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AP和過C的切線互相垂直，垂足為P，過B的切線交過C的切線于T，PB交⊙O于Q，若∠BTC＝120°，AB＝4，則PQ•PB＝(　　)

A．2 B．3
C.3 D．23
[答案]　B
[解析]　連接OC、AC，則OC⊥PC，

則O、C、T、B四點共圓，
∵∠BTC＝120°，∴∠COB＝60°，
故∠AOC＝120°.
由AO＝OC＝2知AC＝23，
在Rt△APC中，
∠ACP＝12∠AOC＝60°，
因此PC＝3.根據切割線定理得PQ•PB＝PC2＝3.
7．()(2011•西安質檢)如圖是某高速公路一個隧道的橫截面，若它的形狀是以O為圓心的圓的一部分，路面AB＝10米，凈高CD＝7米，則此圓的半徑OA＝________米．

[答案]　377
[解析]　設⊙O的半徑為R，則在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，即R2＝(102)2＋(7－R)2，解得R＝377米．
(理)(2011•深圳調研)如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上異于A，B的點，CD⊥AB，垂足為D，已知AD＝2，CB＝43，則CD＝________.

[答案]　23
[解析]　根據射影定理得CB2＝BD×BA，即(43)2＝BD(BD＋2)，得BD＝6，又CD2＝AD×BD＝12，
所以CD＝12＝23.
8．(2011•深圳調研)如圖，割線PBC經過圓心O，OB＝PB＝1，OB繞點O逆時針旋轉120°到OD，連PD交圓O于點E，則PE＝________.

[答案]　377
[解析]　∵∠POD＝120°，OD＝OB＝1，PO＝2，
∴PD＝PO2＋OD2－2OD•PO•cos120°＝7，
由相交弦定理得，PE•PD＝PB•PC，
∴PE＝PB•PCPD＝1×37＝377.
9．()(2011•北京西城區模擬)如圖，從圓O外一點P引圓O的切線PA和割線PBC，已知PA＝22，PC＝4，圓心O到BC的距離為3，則圓O的半徑為________．

[答案]　2
[解析]　設圓O的半徑為R.依題意得PA2＝PB•PC，
∴PB＝PA2PC＝2，BC＝PC－PB＝2，
∴R＝12BC2＋32＝2，即圓O的半徑為2.
(理)(2010•廣東中市四校聯考)如圖，PA切圓O于點A，割線PBC經過圓心O，OB＝PB＝1，OA繞點O逆時針旋轉60°到OD，則PD的長為________．

[答案]　7
[解析]　由圖可知，PA2＝PB•PC＝PB•(PB＋BC)＝3，∴PA＝3，∴∠AOP＝60°，
又∠AOD＝60°，∴∠POD＝120°，∵PO＝2，OD＝1，
∴cos∠POD＝22＋12－PD22×2×1＝－12，∴PD＝7.
10．(2011•杭州市高三聯考)如圖，圓O的直徑AB＝1 0，弦DE⊥AB于點H，AH＝2.

(1)求DE的長；
(2)延長ED到P，過P作圓O的切線，切點為C，若PC＝25，求PD的長．
[解析]　(1)連接AD，DB，
由于AB為圓O的直徑，

∴AD⊥DB.
又AB⊥DE，DH＝HE，
∴DH2＝AH×BH＝2×(10－2)＝16，
DH＝4，DE＝8.
(2)PC切圓O于點C，PC2＝PD×PE，
∴(25)2＝PD(PD＋8)，∴PD＝2.

11.()(2011•廣東汕頭測試)如圖，正△ABC的 邊長為2，點，N分別是邊AB，AC的中點，直線N與△ABC的外接圓的交點為P，Q，則線段P＝________.

[答案]　5－12
[解析]　設P＝x，則QN＝x，由相交弦定理可得P•Q＝B•A即x•(x＋1)＝1，解得x＝5－12.
(理)(2011•佛質檢)如圖，AB，CD是半徑為a的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點P，PD＝23a，∠OAP＝30°，則CP＝________.

[答案]　9a8
[解析]　因為點P是AB的中點，由 垂徑定理知，OP⊥AB.在Rt△OPA中，BP＝AP＝acos30°＝32a.由相交弦定理知，BP•AP＝CP•DP，即32a•32a＝CP•23a，所以CP＝98a.
12．()(2011•惠州市模擬)如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A、B兩點，割線PCD經過圓心O，已知PA＝6，AB＝223，PO＝12，則⊙O的半徑是________．

[答案]　8
[解析]　設⊙O的半徑是R，∵PA•PB＝PC•PD＝(PO－R)(PO＋R)＝PO2－R2，
∴PA(PA＋AB)＝PO2－R2，
將PA＝6，AB＝223，PO＝12代入得R＝8.
(理)(2010•天津理)如下圖，四邊形ABCD是 圓O的內接四邊形，延長AB和DC相交于點P，若PBPA＝12，PCPD＝13，則BCAD的值為__________．

[答案]　66
[解析]　由割線定理知：PB•PA＝PC•PD，
又∵PA＝2PB，PD＝3PC，
∴PB•2PB＝13PD•PD，∴PB2＝16PD2，
∴PB＝66PD，又∵△PBC∽△PDA，∴BCAD＝PBPD＝66.
13．如圖，EB、EC是⊙O的兩條切線，B、C是切點，A、D是⊙O上兩點，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，則∠A的度數是________．

[答案]　99°
[解析]　連接OB、OC、AC，根據弦切角定理得，
∠EBC＝∠BAC，∠CAD＝∠DCF，
可得∠A＝∠BAC＋∠CAD＝12(180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°.
[點評]　可由EB＝EC及∠E求得∠ECB，由∠ECB和∠DCF求得∠BCD，由圓內接四邊形對角互補求得∠A.
14．()(2010•遼寧)如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E.

(1)證明：△ABE∽△ADC；
(2)若△ABC的面積S＝12AD•AE，求∠BAC的大小．
[解析]　(1)∵AD為∠BAC的角平分線[
∴∠BAE＝∠C AD
又∵∠AEB與∠ACB為AB?所對的圓周角
∴∠AEB＝∠ACD
∴△ABE∽△ADC.
(2)由(1)可知△ABE∽△ADC
故ABAE＝ADAC，
即AB•AC＝AD•AE　　　　①
又S＝12AB•ACsin∠BAC且S＝12AD•AE
∴12AB•ACsin∠BAC＝12AD•AE　　　②
由①②式得　sin∠BAC＝1
∵∠BAC為三角形內角，∴∠BAC＝90°
(理)如圖以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，與斜邊AC交于點D，E為BC邊的中點．

(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)連結OE、AE，當∠CAB為何值時，四邊形AOED是平行四邊形，并在此條件下求sin∠CAE的值．
[解析]　(1)在△OBE與△ODE中，
OB＝OD，OE＝OE.
∵E、O分別為BC、AB中點．
∴EO∥AC，∴∠EOB＝∠DAO，∠DOE＝∠ADO，
又∠OAD＝∠ADO，∴∠EOB＝∠DOE，
∴△OBE≌△ODE，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴ED是⊙O的切線．
(2)∠CAB＝45°，sin∠CAE＝1010.
15．()(2011•西太原模擬 )如圖，AB是半圓O的直徑，C是圓周上一點(異于A、B)，過C作圓O的切線l，過A作直線l的垂線AD，垂足為D，AD交半圓于點E.求證：CB＝CE.

[證明]　證法一：連結BE.

因為AB是半圓O的直徑，E為圓周上一點，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AD.
又因為AD⊥l，所以BE∥l.
所以∠DCE＝∠CEB.
因為直線l是圓O的切線，
所以∠DCE＝∠CBE，
所以∠CBE＝∠CEB，所以CE＝CB.
證法二：連結AC，BE，在DC延長線上取一點F.
因為AB是半圓O的直徑，C為圓周上一點．
所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°.
又因為AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°，
所以∠BCF＝∠DAC.[
又因為直線l是圓O的切線，所以∠CEB＝∠BCF.
又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB.
所以CE＝CB.
(理)如圖，AB是圓O的直徑，C是半徑OB的中點，D是AB延長線上一點，且BD＝OB，直線D與圓O相交于點，T(不與A、B重合)，DN與圓O相切于點N，連接C，B，OT.

(1)求證：DT•D＝DO•DC；
(2)若∠DOT＝60°，試求∠BC的大小．
[解析]　(1)證明：因D與圓O相交于點T，由切割線定理得，DN2＝DT•D，DN2＝DB•DA，
所以DT•D＝DB•DA，設半徑OB＝r(r>0)，
因BD＝OB，且BC＝OC＝r2，
則DB•DA＝r•3r＝3r2，DO•DC＝2r•3r2＝3r2.
所以DT•D＝DO•DC.
(2)由(1)可知，DT•D＝DO•DC，且∠TDO＝∠CD，
故△DTO∽△DC，所以∠DOT＝∠DC.
根據圓周角定理得，∠DOT＝2∠DB，則∠BC＝30°.
16．(2011•新標全國，22)如圖，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點，且不與△ABC的頂點重合，已知A E的長為，AC的長為n，AD，AB的長是關于x的方程x2－14x＋n＝0的兩個根．

(1)證明：C，B，D，E四點共圓；
(2)若∠A＝90°，且＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圓的半徑．
[解析]　(1)連結DE，根據題意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝n＝AE×AC，

即ADAC＝AEAB.又∠DAE＝∠CAB，從而△ADE∽△ACB.
因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四點共圓．
(2)＝4，n＝6時，方程x2－14x＋n＝0的兩根為x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.
取CE的中點G，DB的中點F，分 別過G，F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連結DH.因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH，由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.從而HF＝AG＝5，DF＝12(12－2)＝5.
故C，B，D，E四點所在圓的半徑為52.

1．(2011•廣東湛江高考調研)如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，AD＝2，AC＝25，則AB＝________.

[答案]　10
[解析]　由射影定理知，AC2＝AD•AB，
所以AB＝2522＝10.
2．如圖所示，已知AB為半⊙O的直徑，直線N切半圓于點C，AD⊥N于點D，BE⊥N于點E，BE交半圓于點F，AD＝3c，BE＝7c.(1)則⊙O的半徑為________；(2)則線段DE的長為________．

[答案]　5c；221c
[解析]　(1)連接OC.∵N切半圓于點C，∴OC⊥N.
∵AD⊥N，BE⊥N，∴AD∥OC∥BE.
∵OA＝OB，∴CD＝CE.
∴OC＝12(AD＋BE)＝5c.
∴⊙O的半徑為5c.
(2)連接AF.∵AB為半⊙O的直徑，
∴∠AFB＝90°.∴∠AFE＝90°.
又∵∠ADE＝∠DEF＝90°，∴四邊形ADEF為矩形．
∴DE＝AF，AD＝EF＝3c.
在RtABF中，BF＝BE－EF＝4c，AB＝2OC＝10c.
∴AF＝AB2－BF2＝102－42＝221，
∴DE＝221c.
3．(2010•廣東)如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2，點E，F分別為線段AB、AD的中點，則EF＝__________.

[答案]　a2
[解析]　如圖連結DE，BE?CD，∴CDEB為矩形，

∴DE⊥AB，DE又為中線，
∴AD＝DB＝a，
EF為中位線，∴EF＝a2.
[點評]　也可以用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解．
4.(2010•深圳市調研)如圖，已知PA是⊙O的切線，A是切點，直線PO交⊙O于B、C兩點，D是OC的中點，連接AD并延長交⊙O于點E.若PA＝23，∠APB＝30°，則AE＝________.

[答案]　1077
[解析]　∵PA是⊙O的切線，∴OA⊥PA，
在直角三角形PAO中，tan30°＝AOPA＝33.∵PA＝23，∴AO＝PA•33＝2，即圓O的半徑為r＝2，
同理sin30°＝AOPO＝12，∴PO＝4.
∵D是OC的中點，∴OD＝DC＝1，從而BD＝BO＋OD＝2＋1＝3，PD＝PO＋OD＝4＋1＝5，
在三角形PAD中，由余弦定理得：AD2＝PA2＋PD2－2PA•PD•cos30°＝(23)2＋52－2×23×5×32＝7，∴AD＝7，再由相交弦定理得：AD•DE＝BD•DC，即7•DE＝3×1＝3，DE＝377，∴AE＝AD＋DE＝7＋377＝1077.
5．(2011•北京朝陽區統考)如圖，AB是⊙O的直徑，CB切⊙O于點B，CD切⊙O于點D，直線CD交AB于點E.若AB＝3，ED＝2，則CB的長為________．

[答案]　3
[解析]　由切割線定理得，ED2＝EA•EB，
∴4＝EA(EA＋3)，
∴EA＝1，∵CB是⊙O的切線，∴EB⊥CB，
∴EB2＋CB2＝CE2，
又∵CD是⊙O的切線，∴CD＝CB，
∴42＋CB2＝(CB＋2)2，∴CB＝3.
6．(2011•北京西域區期末)如圖所示，過圓C外一點P做一條直線與圓C交于A，B兩點，AB＝2AP，PT與圓C相切于T點．已知圓C的半徑為2，∠CAB＝30°，則PT＝________.

[答案]　3
[解析]　∵AC＝2，∠CAB＝30°，
∴AB＝2ACcos30°＝2×2×32＝23，
∴AP＝12AB＝3，∴PB＝AP＋AB＝33，
∵PT是⊙C的切線，∴PT2＝AP•PB＝9，∴PT＝3.
7．(2011•廣東理，15)如下圖，過圓O外作一點P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB＝7，C是圓上一點使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，則AB＝________.

[答案]　35
[解析]　由圓的切線性質可知∠PAB＝∠ACB，
又∠APB＝∠BAC，所以△PAB∽△ACB，
所以ABBC＝PBAB，而BC＝5，PB＝7，∴AB5＝7AB，
∴AB2＝35，AB＝35.
8．(2011•湖南理，11)如下圖，A，E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC＝4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點F，則AF的長為________．

[答案]　233
[解析]　如圖，連結CE，OA，AB，∵A、E是半圓周上的兩個三等分點，BC為直徑，∴∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，

又OA＝2，∴AD＝3，OD＝BD＝1，
∴DF＝33，∴AF＝AD－DF＝233.
9．(2011•天津，13)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF＝2，AF?：FB?：BE＝4?：2?：1.若CE與圓相切，則線段CE的長為________．

[答案]　72
[解析]　由題意：AF•FB＝DF•FC＝2AFFB＝2
∴AF＝2，FB＝1，∴BE＝12，AE＝AF＋BF＋BE＝72.
由切割線定理得：CE2＝BE•AE＝12×72＝74.
∴CE＝72.
10．(2011•遼寧，22)如圖，A、B、C、D四點在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點，且EC＝ED.

(1)證明：CD∥AB;
(2)延長CD到F，延長DC到G，使得EF＝EG，證明：A、B、G、F四點共圓．
[解析]　(1)因為EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.
因為A，B，C，D四點在同一圓上，所以∠EDC＝∠EBA.
故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.
(2)由(1)知，AE＝BE，因為EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，從而∠FED＝ ∠G EC.

連接AF，BG，則△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.
又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.
所以∠AFG＋∠GBA＝180°.
故A、B、G、F四點共圓．
11.(2010•江蘇)如圖AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點C，若DA＝DC，求證：AB＝2BC

[解析]　連結OD、BD.
因為AB是圓O的直徑，

所以∠ADB＝90°，AB＝2OB ，
因為DC是圓O的切線，
所以∠CDO＝90°.
又因為DA＝DC，所以∠A＝∠C，
于是△ADB≌△CDO，從而AB＝CO，即2OB＝OB＋BC，得OB＝BC.
故AB＝2BC.
12．(2010•新標全國理)如圖，已知圓上的弧AC?＝BD?，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：

(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE×CD.
[解析]　(1)因為AC?＝BD?.所以∠BCD＝∠ABC.
又因為EC與圓相切于點C，故∠ACE＝∠ABC，
所以∠ACE＝∠BCD.
(2)因為∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，
所以△BDC∽△ ECB，故BCBE＝CDBC，
即BC2＝BE×CD.

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