池州一中2012-2013學年度高三月考
數學試卷(科)
第Ⅰ卷 （ 共50分）
一、：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
⒈ 已知 ，集合 ，則 （ ）
A. B. C. D.
⒉ 已知函數 ，則 ( )
A． B． C． D．
⒊ 設 為表示不超過 的最大整數,則函數 的定義域為 ( )
A． B． C． D．
⒋ 設 ，則（ ）
A． B． C． D．
⒌ 已知函數 （ ）的圖象在 處的切線斜率為 （ ），且當 時，其圖象經過 ，則 （ ）
A． B． C． D．
⒍ 命題“函數 是奇函數”的否定是（ ）
A． , B． ,
C． , D． ，
⒎ 把函數 的圖象向左平移 個單位得到 的圖象
（如圖），則 （ ）
A． B． C. D.
⒏ Direchlet函數定義為： ，關于函數 的
性質敘述不正確的是（ ）
A． 的值域為 B． 為偶函數
C． 不是單調函數 D． 不是周期函數
⒐ 函數 的零點個數是（ ）
A． B． C． D．
⒑ 已知向量 、 的夾角為 ， ， ，則 的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．

第II卷（非選擇題，共100分）
二、題：共5小題，每小題5分，計25分.
⒒ 函數 的定義域為 .
⒓ 已知 ， ，則 .
⒔ 函數 可表示為奇函數 與偶函數 的和 ,則 .
⒕ 給出下列命題：
⑴ 是冪函數；
⑵“ ”是“ ”的充分不必要條件；
⑶ 的解集是 ；
⑷ 函數 的圖象關于點 成中心對稱；
⑸ 命題“若 ，則 ”的逆否命題為真命題.
其中真命題的序號是 （寫出所有正確命題的序號）
⒖ 對于三次函數 ，給出定義：設 是函數 的導數， 是 的導數，若方程 有實數解 ，則稱點 為函數 的“拐點”，某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.給定函數 ，請你根據上面探究結果，解答以下問題：
（1）函數 的對稱中心為 ；
（2）計算 .

三、解答題：本大題共6小題，計75分.解答應寫出必要的字說明，證明過程或演算步驟.
⒗（本小題滿分12分）
已知向量 ， ，設函數 , .
（Ⅰ）求函數 的最小正周期和單調遞減區間；
（Ⅱ）若方程 在區間 上有實數根，求 的取值范圍.

⒘（本小題滿分12分）
已知命題 :實數 滿足 ；命題 ：實數 滿足 ，若 是 的必要不充分條件，求實數 的取值范圍.

⒙（本小題滿分13分）
已知 （ 為常數， 且 ）．設 ， ，…， ，…（ ）是首項為2，公比為的等比數列．
（Ⅰ）求證：數列 是等差數列；
（Ⅱ）若 ，且數列 的前 項和為 ，當 時，求 .

⒚ (本小題滿分12分)
已知 的內角 所對的邊分別是 ，設向量 ， ，
.
（Ⅰ）若 // ，求證： 為等腰三角形；
（Ⅱ）若 ⊥ ，邊長 ， ，求 的面積.

⒛（本小題滿分12分）
如圖,在 中,設 , , 的中點為 , 的中點為 , 的中點恰為 .
（Ⅰ）若 ,求 和 的值;
（Ⅱ）以 , 為鄰邊, 為對角線,作平行四邊形 ,
求平行四邊形 和三角形 的面積之比 .

21.(本小題滿分14分)
已知 ， ， ，…， .
（Ⅰ）請寫出的 表達式（不需證明）；
（Ⅱ）求 的極小值 ；
（Ⅲ）設 ， 的最大值為 ， 的最小值為 ，試求 的最小值.

池州一中2013屆高三第三次月考(10月)
數學（科）答案

一、選擇題：
題號12345678910
答案DBC ABACDC A

二、題
題號1112131415
答案

⑵⑷⑸ ，

11. 解：由 ，即定義域為

三、解答題
16. 解: （Ⅰ）由題意知：
f(x) =
∴f(x)的最小正周期 = .................... .4分
∴f(x)的單調遞減區間 [ ......................6分
17．解：令

“ ”
而 的必要不充分條件，∴ 的必要不充分條件
故A B ∴
18. 解：（1）由題意f（an）＝ ，即 ．
∴an＝n＋1，（2分） ∴an＋1－an＝1，
∴數列{an}是以2為首項，1為公差的等差數列．
（2）由題意 ＝（n＋1）•n+1，
當＝2時，bn＝（n＋1）•2n＋1
∴Sn＝2•22＋3•23＋4•24＋…＋（n＋1）•2n＋1　①
①式兩端同乘以2，得
2Sn＝2•23＋3•24＋4•25＋…＋n•2n＋1＋（n＋1）•2n＋2　②
②－①并整理，得
Sn＝－2•22－23－24－25－…－2n＋1＋（n＋1）•2n＋2
＝－22－（22＋23＋24＋…＋2n＋1）＋（n＋1）•2n＋2
＝－22－22(1－2n)1－2＋（n＋1）•2n＋2
＝－22＋22（1－2n）＋（n＋1）•2n＋2＝2n＋2•n．
19. 【解析】證明：（Ⅰ） 即 ，
其中 是 外接圓半徑， --------（5分）
為等腰三角形 -----（6分）
解（Ⅱ）由題意可知 ⊥ ， --------（8分）
由余弦定理可知，
---------（10分）
………………………（12分）

20．（1）解：∵Q為AP中點，∴ P為CR中點，
∴
同理：
而 ∴
即
（2）
∴

21. 【解析】本小題主要考查函數的概念、導數應用、函數的單調區間和極值等知識，考查運用數學知識解決問題及推理的能力。
（Ⅰ）證明：對于任意的a>0， ，均有 ①
在①中取
∴ ②
（Ⅱ）證法一：當 時，由①得
取 ，則有 ③
當 時，由①得
取 ，則有 ④
綜合②、③、④得 ;
證法二:
令 時，∵ ，∴ ，則
而 時， ，則
而 ， ∴ ，即 成立
令 ，∵ ，∴ ，則
而 時， ，則
即 成立。綜上知

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）中的③知，當 時， ，
從而
又因為k>0，由此可得
－0+

?極小值2?
所以 在區間 內單調遞減，在區間（ ）內單調遞增。
解法2：由（Ⅱ）中的③知，當 時， ，
設 則

又因為k>0，所以
（i）當 ；
（ii）當
所以 在區間 內單調遞減, 在區間（ ）內單調遞增.

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