2013年全國高校自主招生數學模擬試卷二

一、填空題（64分）
1．設集合 ，若 中所有三元子集的三個元素之和組成的集合為 ，則集合 ．
2．函數 的值域為 ．
3．設 為正實數， ， ，則 ．
4．如果 ， ，那么 的取值范圍是 ．
5．現安排7名同學去參加5個運動項目，要求甲、乙兩同學不能參加同一個項目，每個項目都有人參加，每人只參加一個項目，則滿足上述要求的不同安排方案數為 ．（用數字作答）
6．在四面體 中，已知 ， ， ，則四面體 的外接球的半徑為 ．
7．直線 與拋物線 交于 兩點， 為拋物線上的一點， ，則點 的坐標為 ．
8．已知 C ，則數列 中整數項的個數為 ．
二、解答題（56分）
9．（16分）設函數 ，實數 滿足 ， ，求 的值．

10．（20分）已知數列 滿足： R且 ，
N ．
（1）求數列 的通項公式；
（2）若 ，試比較 與 的大小．

11．（20分）作斜率為 的直線 與橢圓 ： 交于 兩點（如圖所示），且 在直線 的左上方．
（1）證明：△ 的內切圓的圓心在一條定直線上；
（2）若 ，求△ 的面積．

2013年全國高校自主招生數學模擬試卷二
參考答案
1． . 提示：顯然，在 的所有三元子集中，每個元素均出現了3次，所以
，
故 ，于是集合 的四個元素分別為5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合 ．
2． . 提示：設 ，且 ，則
．
設 ，則 ，且 ，所以 ．

3．-1. 提示：由 ，得 ．又
，
即
． ①
于是
． ②
再由不等式①中等號成立的條件，得 ．與②聯立解得 或
故 ．
4． . 提示：不等式

等價于
.
又 是 上的增函數，所以 ，故
Z)．
因為 ，所以 的取值范圍是 ．
5．15000. 提示：由題設條件可知，滿足條件的方案有兩種情形：
（1）有一個項目有3人參加，共有 種方案；
（2）有兩個項目各有2人參加，共有 種方案；
所以滿足題設要求的方案數為 ．

6． . 提示：設四面體 的外接球球心為 ，則 在過△ 的外心 且垂直于平面 的垂線上．由題設知，△ 是正三角形，則點 為△ 的中心．設 分別為 的中點，則 在 上，且 ， ．
因為 ，設 與平面 所成角為 ，可求得 ．
在△ 中， ．
由余弦定理得
，
故 ．四邊形 的外接圓的直徑
．
故球 的半徑 ．
7． 或 ．提示： 設 ，由 得 ，則 ， ．
又 ，所以
，
．
因為 ，所以 ，即有
，
即
，
即
，
即
．
顯然 ，否則 ，則點 在直線 上，從而點 與點 或點 重合．所以 ，解得 ．
故所求點 的坐標為 或 ．

8．15. 提示： C ．
要使 為整數，必有 均為整數，從而 ．
當 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80時， 和 均為非負整數，所以 為整數，共有14個．
當 時， C ，在C 中， 中因數2的個數為
，
同理可計算得 中因數2的個數為82， 中因數2的個數為110，所以C 中因數2的個數為 ，故 是整數．
當 時， C ，在C 中，同樣可求得 中因數2的個數為88, 中因數2的個數為105,故C 中因數2的個數為 ，故 不是整數．
因此，整數項的個數為 ．

9．因為 ，所以
，
所以 或 ，又因為 ，所以 ，所以 ．
又由 有意義知 ，從而
，
于是
．
所以
．
從而
．
又
，
所以
，
故 ．解得 或 （舍去）．
把 代入 解得 ．
所以 ， ．

10．（1）由原式變形得
，
則
．
記 ，則 ， ．
又 ，從而有
，
故 ，于是有 ．
（2）


，
顯然在 時恒有 ，故 ．

11．（1）設直線 ： ， ．
將 代入 中，化簡整理得
．
于是有 ， ． 則
，
上式中，
分子


，
從而， ．
又 在直線 的左上方，因此， 的角平分線是平行于 軸的直線，所以△ 的內切圓的圓心在直線 上．
（2）若 時，結合（1）的結論可知 ．
直線 的方程為： ，代入 中，消去 得
．
它的兩根分別是 和 ，所以 ，即 ．所以
．
同理可求得 ．
所以

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