2012年全國高中數學聯合競賽四川初賽試題
一、單項選擇題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）
1、設集合 ， ，則 =（ ）
A、 B、 C、 D 、
2、正方體 中 與截面 所成的角是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知 ， ，則“ ”是“ 在 上恒成立”的（ ）
A、充分但不必要條件 B、必要但不充分條件 C、充要條件 D、既不充分也不必要條件
4、設正三角形 的面積為 ，作 的內切圓，再作內切圓的內接正三角形，設為 ，面積為 ，如此下去作一系列的正三角形 ，其面積相應為 ，設 , ，則 =（ ）
A 、 B 、 C、 D 、2
5、設拋物線 的焦點為 ，頂點為 ， 是拋物線上的動點，則 的最大值為（ ）
A 、 B 、 C、 D 、
6、設倒圓錐形容器的軸截面為一個等邊三角形，在此容器內注入水，并放入半徑為 的一個實心球，此時球與容器壁及水面恰好都相切，則取出球后水面高為（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）
7、如圖，正方形 的邊長為3， 為 的中點， 與 相交于 ，則 的值是
8、 的展開式中的常數項是 ．（用具體數字作答）
9、設等比數列 的前 項和為 ，滿足 ，則 的值為 ．
10、不超過2012的只有三個正因數的正整數個數為 ．
11、已知銳角 滿足 ，則 的最大值是 ．
12、從1,2,3,4,5組成的數字不重復的五位數中，任取一個五位數 ，滿足條件“ ”的概率是 ．

三、解答題（本大題共4個小題，每小題20分，共80分）
13、設函數 ，
（I）求函數 在 上的最大值與最小值；
（II）若實數 使得 對任意 恒成立，求 的值．

14、已知 ，滿足 ，
（I）求 的最小值；
（II）當 取最小值時，求 的最大值．

15、直線 與雙曲線 的左支交于 、 兩點，直線 經過點 和
的中點，求直線 在 軸的截距 的取值范圍．

16、設函數 在 上的最大值為 （ ）．
（I）求數列 的通項公式；
（II）求證：對任何正整數 ，都有 成立；
（III）設數列 的前 項和為 ，求證：對任意正整數 ，都有 成立．

參考解答
一、選擇題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）
1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D
二、填空題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）
7、 8、 9、0 10、14 11、 12、
三、解答題（本大題共4個小題，每小題20分，共80分）
13、解：（I）由條件知 ， （5分）
由 知， ，于是
所以 時， 有最小值 ；
當 時， 有最大值 ． （10分）
（II）由條件可知
對任意的 恒成立，
∴
∴
∴ , （15分）
由 知 或 。
若 時，則由 知 ，這與 矛盾！
若 ，則 （舍去）， ，
解得 ，所以， ． （20分）
14、解：（I）因為 （5分）
，等號成立的條件是 ，
當 時， 可取最小值2． （10分）
（II）當 取最小值時， ，從而 ，
即 ，令 ，則 （15分）
從而 或者 （舍去）
故 在 單減，
所以在 時， 有最大值 ． （20分）

15、解：將直線 與雙曲線 方程聯立得
化簡得 ①　　　　　　　　　　　　　　　　　　�。�5分）
由題設知方程①有兩負根，因此 ，解得 ．（10分）
設 ，則有 ，

故 的中點為 ，
所以直線 方程為 ，其在 軸的截距 ，（15分）
當 時， ，其取值范圍是
所以 的取值范圍是 ． （20分）

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