【導語】以下是逍遙右腦為大家推薦的有關高三數學練習題：基本不等式，如果覺得很不錯，歡迎點評和分享～感謝你的閱讀與支持！
　　1.若xy>0，則對xy+yx說法正確的是()

　　A.有最大值-2B.有最小值2

　　C.無最大值和最小值D.無法確定

　　答案：B

　　2.設x，y滿足x+y=40且x，y都是正整數，則xy的最大值是()

　　A.400B.100

　　C.40D.20

　　答案：A

　　3.已知x≥2，則當x=____時，x+4x有最小值____.

　　答案：24

　　4.已知f(x)=12x+4x.

　　(1)當x>0時，求f(x)的最小值;

　　(2)當x<0時，求f(x)的最大值.

　　解：(1)∵x>0，∴12x，4x>0.

　　∴12x+4x≥212x•4x=83.

　　當且僅當12x=4x，即x=3時取最小值83，

　　∴當x>0時，f(x)的最小值為83.

　　(2)∵x<0，∴-x>0.

　　則-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x•-4x=83，

　　當且僅當12-x=-4x時，即x=-3時取等號.

　　∴當x<0時，f(x)的最大值為-83.

　　一、選擇題

　　1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()

　　A.x+12xB.x2-1+1x2-1

　　C.2x+2-xD.x(1-x)

　　答案：C

　　2.函數y=3x2+6x2+1的最小值是()

　　A.32-3B.-3

　　C.62D.62-3

　　解析：選D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.

　　3.已知m、n∈R，mn=100，則m2+n2的最小值是()

　　A.200B.100

　　C.50D.20

　　解析：選A.m2+n2≥2mn=200，當且僅當m=n時等號成立.

　　4.給出下面四個推導過程：

　　①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba+ab≥2ba•ab=2;

　　②∵x，y∈(0，+∞)，∴lgx+lgy≥2lgx•lgy;

　　③∵a∈R，a≠0，∴4a+a≥24a•a=4;

　　④∵x，y∈R，，xy<0，∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2-xy-yx=-2.

　　其中正確的推導過程為()

　　A.①②B.②③

　　C.③④D.①④

　　解析：選D.從基本不等式成立的條件考慮.

　　①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba，ab∈(0，+∞)，符合基本不等式的條件，故①的推導過程正確;

　　②雖然x，y∈(0，+∞)，但當x∈(0,1)時，lgx是負數，y∈(0,1)時，lgy是負數，∴②的推導過程是錯誤的;

　　③∵a∈R，不符合基本不等式的條件，

　　∴4a+a≥24a•a=4是錯誤的;

　　④由xy<0得xy，yx均為負數，但在推導過程中將全體xy+yx提出負號后，(-xy)均變為正數，符合基本不等式的條件，故④正確.

　　5.已知a>0，b>0，則1a+1b+2ab的最小值是()

　　A.2B.22

　　C.4D.5

　　解析：選C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.當且僅當a=bab=1時，等號成立，即a=b=1時，不等式取得最小值4.

　　6.已知x、y均為正數，xy=8x+2y，則xy有()

　　A.最大值64B.最大值164

　　C.最小值64D.最小值164

　　解析：選C.∵x、y均為正數，

　　∴xy=8x+2y≥28x•2y=8xy，

　　當且僅當8x=2y時等號成立.

　　∴xy≥64.

　　二、填空題

　　7.函數y=x+1x+1(x≥0)的最小值為________.

　　答案：1

　　8.若x>0，y>0，且x+4y=1，則xy有最________值，其值為________.

　　解析：1=x+4y≥2x•4y=4xy，∴xy≤116.

　　答案：大116

　　9.(2010年高考山東卷)已知x，y∈R+，且滿足x3+y4=1，則xy的最大值為________.

　　解析：∵x>0，y>0且1=x3+y4≥2xy12，∴xy≤3.

　　當且僅當x3=y4時取等號.

　　答案：3

　　三、解答題

　　10.(1)設x>-1，求函數y=x+4x+1+6的最小值;

　　(2)求函數y=x2+8x-1(x>1)的最值.

　　解：(1)∵x>-1，∴x+1>0.

　　∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5

　　≥2x+1•4x+1+5=9，

　　當且僅當x+1=4x+1，即x=1時，取等號.

　　∴x=1時，函數的最小值是9.

　　(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1

　　=(x-1)+9x-1+2.∵x>1，∴x-1>0.

　　∴(x-1)+9x-1+2≥2x-1•9x-1+2=8.

　　當且僅當x-1=9x-1，即x=4時等號成立，

　　∴y有最小值8.

　　11.已知a，b，c∈(0，+∞)，且a+b+c=1，求證：(1a-1)•(1b-1)•(1c-1)≥8.

　　證明：∵a，b，c∈(0，+∞)，a+b+c=1，

　　∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca，

　　同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc，

　　以上三個不等式兩邊分別相乘得

　　(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.

　　當且僅當a=b=c時取等號.

　　12.某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁忽略不計).

　　問：污水處理池的長設計為多少米時可使總價最低.

　　解：設污水處理池的長為x米，則寬為200x米.

　　總造價f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200

　　=800×(x+225x)+12000

　　≥1600x•225x+12000

　　=36000(元)

　　當且僅當x=225x(x>0)，

　　即x=15時等號成立.