充分與必要條件考查學生的邏輯能力且經(jīng)常與其他的題結合在一起考查,那么我們該如何判斷充分與必要條件。小編為你提供判斷充分與必要條件的常用方法,希望對大家有幫助。
一、定義法
對于“?圯”,可以簡單的記為箭頭所指為必要,箭尾所指為充分.在解答此類題目時,利用定義直接推導,一定要抓住命題的條件和結論的四種關系的定義.
例1已知p:-2
分析條件p確定了m,n的范圍,結論q則明確了方程的根的特點,且m,n作為系數(shù),因此理應聯(lián)想到根與系數(shù)的關系,然后再進一步化簡.
解設x1,x2是方程x2+mx+n=0的兩個小于1的正根,即0
而對于滿足條件p的m=-1,n=,方程x2-x+=0并無實根,所以pq.
綜上,可知p是q的必要但不充分條件.
點評解決條件判斷問題時,務必分清誰是條件,誰是結論,然后既要嘗試由條件能否推出結論,也要嘗試由結論能否推出條件,這樣才能明確做出充分性與必要性的判斷.
二、集合法
如果將命題p,q分別看作兩個集合A與B,用集合意識解釋條件,則有:①若A?哿B,則x∈A是x∈B的充分條件,x∈B是x∈A的必要條件;②若A?芴B,則x∈A是x∈B的充分不必要條件,x∈B是x∈A的必要不充分條件;③若A=B,則x∈A和x∈B互為充要條件;④若A?芫B且A?蕓B,則x∈A和x∈B互為既不充分也不必要條件.
例2設x,y∈R,則x2+y2<2是|x|+|y|≤的()條件,是|x|+|y|<2的()條件.
A.充要條件B.既非充分也非必要條件
C.必要不充分條件?搖D.充分不必要條件
解如右圖所示,平面區(qū)域P=x2+y2<2表示圓內(nèi)部分(不含邊界);平面區(qū)域Q=y表示小正方形內(nèi)部分(含邊界);平面區(qū)域M=+表示大正方形內(nèi)部分(不含邊界).
由于(,0)?埸P,但(,0)∈Q,則P?蕓Q.又P?芫Q,于是x2+y2<2是|x|+|y|≤的既非充分也非必要條件,故選B.
同理P?芴M,于是x2+y2<2是|x|+|y|<2的充分不必要條件,故選D.
點評由數(shù)想形,以形輔數(shù),這種解法正是數(shù)形結合思想在解題中的有力體現(xiàn).數(shù)形結合不僅能夠拓寬我們的解題思路,而且也能夠提高我們的解題能力.
三、逆否法
利用互為逆否命題的等價關系,應用“正難則反”的數(shù)學思想,將判斷“p?圯q”轉化為判斷“非q?圯非p”的真假.
例3(1)判斷p:x≠3且y≠2是q:x+y≠5的什么條件;
(2)判斷p:x≠3或y≠2是q:x+y≠5的什么條件.
解(1)原命題等價于判斷非q:x+y=5是非p:x=3或y=2的什么條件.
顯然非p非q,非q非p,故p是q的既不充分也不必要條件.
(2)原命題等價于判斷非q:x+y=5是非p:x=3且y=2的什么條件.
因為非p?圯非q,但非q非p,故p是q的必要不充分條件.
點評當命題含有否定詞時,可考慮通過逆否命題等價轉化判斷.
四、篩選法
用特殊值、舉反例進行驗證,做出判斷,從而簡化解題過程.這種方法尤其適合于解選擇題.
例4方程ax2+2x+1=0至少有一個負實根的充要條件是()
A.0
解利用特殊值驗證:當a=0時,x=-,排除A,D;當a=1時,x=-1,排除B.因此選C.
點評作為選擇題,利用篩選法避免了復雜的邏輯推理過程,使解題方法更加優(yōu)化,節(jié)省了時間,提高了解題的速度,因此同學們應該注意解題方法的選擇使用.
五、傳遞法
充分條件與必要條件具有傳遞性,即由P1?圯P2,P2?圯P3,…,Pn-1?圯Pn,可得P1?圯Pn.同樣,充要條件也有傳遞性.對于比較復雜的具有一定連鎖關系的條件,兩個條件間關系的判斷也可用傳遞法來加以處理.
例5已知p是r的充分不必要條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,那么p是q的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
解由題意可得p?圯r,r?圯s,s?圯q,那么可得p?圯r?圯s?圯q,即p是q的充分不必要條件,故選A.
點評對于兩個以上的較復雜的連鎖式條件,利用傳遞性結合符號“?圯”與“”,畫出它們之間的關系結構圖進行判斷,可以直觀快捷地處理問題,使問題得以簡單化.
1.求三個方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0至少有一個方程有實根的充要條件.
1.三個方程均無實根的充要條件是
Δ1=16a2-4(-4a+3)<0,Δ2=(a-1)2-4a2<0,Δ3=4a2-4(-2a)<0,解得-
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