【—上海方差】方差是各個數據與平均數之差的平方的平均數。

　　方差

　　方差是實際值與期望值之差平方的期望值，而標準差是方差算術平方根。 在實際計算中，我們用以下公式計算方差。

　　即s^2=(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]，其中，x_表示樣本的平均數，n表示樣本的數量，xn表示個體，而s^2就表示方差。

　　而當用(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]作為樣本X的方差的估計時，發現其數學期望并不是X的方差，而是X方差的(n-1)/n倍，[1/(n-1)][(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]的數學期望才是X的方差，用它作為X的方差的估計具有“無偏性”，所以我們總是用[1/(n-1)]∑(xi-X~)^2來估計X的方差，并且把它叫做“樣本方差”。

　　方差，通俗點講，就是和中心偏離的程度!用來衡量一批數據的波動大小(即這批數據偏離平均數的大小)并把它叫做這組數據的方差。記作S²。 在樣本容量相同的情況下，方差越大，說明數據的波動越大，越不穩定。

　　定義　　設X是一個隨機變量，若E{[X-E(X)]^2}存在，則稱E{[X-E(X)]^2}為X的方差，記為D(X),Var(X)或DX。

　　即D(X)=E{[X-E(X)]^2}稱為方差，而σ(X)=D(X)^0.5(與X有相同的量綱)稱為標準差(或均方差)。即用來衡量一組數據的離散程度的統計量。

　　方差刻畫了隨機變量的取值對于其數學期望的離散程度。(標準差.方差越大，離散程度越大。否則，反之)

　　若X的取值比較集中，則方差D(X)較小

　　若X的取值比較分散，則方差D(X)較大。

　　因此，D(X)是刻畫X取值分散程度的一個量，它是衡量X取值分散程度的一個尺度。

　　計算

　　由定義知，方差是隨機變量 X 的函數

　　g(X)=∑[X-E(X)]^2 pi

　　數學期望。即：

　　由方差的定義可以得到以下常用計算公式：

　　D(X)=∑xi²pi-E(x)²

　　D(X)=∑(xi²pi+E(X)²pi-2xipiE(X))

　　=∑xi²pi+∑E(X)²pi-2E(X)∑xipi

　　=∑xi²pi+E(X)²-2E(X)²

　　=∑xi²pi-E(x)²

　　方差其實就是標準差的平方。

　　幾個重要性質

　　(1)設c是常數，則D(c)=0。

　　(2)設X是隨機變量，c是常數，則有D(cX)=(c^2)D(X)。

　　(3)設 X 與 Y 是兩個隨機變量，則

　　D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

　　特別的，當X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，上式中右邊第三項為0(常見協方差)，

　　則D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性質可以推廣到有限多個相互獨立的隨機變量之和的情況。

　　(4)D(X)=0的充分必要條件是X以概率為1取常數值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。

　　(5)D(aX+bY)=a^2DX+b^2DY+2abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。

　　很多時候我們分析的時候更多的使用的是標準差。