【例題求解】
【例1】 若關于的方程 有解，則實數m的取值范圍 ．
思路點撥 可以利用絕對值知識討論，也可以用函數思想探討：作函數 ， 函數圖象，原方程有解，即兩函數圖象有交點，依此確定m的取值范圍．
【例2】設關于 的方程 有兩個不相等的實數根 ， ，且 <1< ，那么 取值范圍是( )
A． B． C ． D．
思路點撥 因根的表達式復雜，故把原問題轉化為二次函數問題來 解決，即求對應的二次函數與 軸的交點滿足 <1< 的 的值，注意判別式的隱含制約．
【例3】 已知拋物線 ( )與 軸交于兩點A( ，0)，B( ，0)( ≠ )．
(1)求 的取值范圍，并證明A、B兩點都在原點O的左側；
(2)若拋物線與 軸交于點C，且OA+OB＝OC一2，求 的值．
思路點撥 、 是方程 的兩個不等實根，于是二次函數問題就可以轉化為二次方程問題加以解決，利用判別式，根與系數的關系是解題的切入點．
【例4】 拋物線 與 軸的正半軸交于點C，與 軸交于A、B兩點，并且點B在A的 右邊，△ABC的面積是△OAC面積的3倍．
(1)求這條拋物線的解析式；
(2)判斷△OBC與△OCA是否相似，并說明理由．
思路點撥 綜合運用判別式、根與系數關系等知識，可判定對應方程根的符號特征、兩實根的關系，這是解本例的關鍵．對于(1)，建立關于m的等式，求出m的值；對于(2)依m的值分類討論．
【例5】 已知拋物線 上有一點M(， )位于 軸下方．
(1)求證：此拋物線與軸交于兩點；
(2)設此拋物線與 軸的交點為A( ，0)，B(，0)，且 < ，求證： < < ．
思路點撥 對于(1)，即要證 ；對于(2)，即要證 ．
學歷訓練
1．已知關于 的函數 的圖象與 軸有交點，則m的取值范圍是 ．
2．已知拋物線 與 軸交于A ( ，0)，B( ，0)兩點，且 ，則 ．
3．已知二次函數y=kx2+(2k－1)x―1與x軸交點的橫坐標為x1、x2(x1
4．設函數 的圖象如圖所示，它與 軸交于A、B兩點，且線段OA與OB的長的比為1：4，則 ＝( )．
A．8 B．一4 C．1l D．一4或11
5．已知：二次函數y＝x2+bx+c與x軸相交于A(x1,0)、B(x2，0)兩點，其頂點坐標為P(－ ， )，AB＝｜x1－x2，若S△APB＝1，則b與c的關系式是 ( )
A．b2－4c+1= 0 B．b2－4c－1=0
C．b2－4c+4=0 D．b 2－4c－4=0
6．已知方程 有一個負根而且沒有正根，那么 的取值范圍是( )
A． >-1 B． ＝1 C． ≥1 D．非上述答案
7．已知在平面直角坐標系內，O為坐標原點，A、B是x軸正半軸上的兩點，點A在點B的左側，如圖，二次函數y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象經過點A、B，與y軸相交于點C．
（1）a、c的符號之間有何關系？
（2）如果線段OC的長度是線段OA、O B長度的比例中項，試證a、c互為倒數；
（3）在（2）的條件下，如果b=－4，AB=4 ，求a、c的值．
8．已知：拋物線 過點A(一1，4)，其頂點的橫坐標為 ，與 軸分別交于B(x1,0)、C(x2，0)兩點(其中且 < )，且 ．
(1)求此拋物線的解析式及頂點E的坐標；
(2)設此拋物線與 軸交于D點，點M是拋物線上的點，若△MB O的面積為△DOC面積的 倍，求點M的坐標．
9．已知拋物線 交x軸于A（ ，0）、B（ ，0），交y軸于C點，且 ＜0＜ ， .
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸的下方是否存在著拋物線上的點P，使∠APB為銳角，若存在，求出P點的橫坐標的范圍；若不存在，請說明理由.
10． 設 是整數，且方程 的兩根都大于 而小于 ，則= .
11．函數 的圖象與函數 的圖象的交點個數是 ．
12．已知 、 為拋物線 與 軸交點的橫坐標， ，則 的值為 ．
13．是否存在這樣的實數 ，使得二次方程 有兩個實數根，且兩根都在2與4之間?如果有，試確定 的取值范圍；如果沒有，試述理由．
14．設拋物線 的圖象與 軸只有一個交點．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
15．已知以 為自變量的二次函數 ，該二次函數圖象與 軸的兩個交點的橫坐標的差的平方等于關于 的方程 的一整數根，求 的值．
16．已知二次函數的圖象開口向上且不過原點O，頂點坐標為(1，一2)，與 軸交于點A，B，與y軸交于點C，且滿足關系式 ．
(1)求二次函數的解析式；
(2)求△ABC的面積．
17．設 是實數，二次函數 的圖象與 軸有兩個不同的交點A（ ，0）、B（ ，0）．
(1)求證： ；
(2)若A、B兩點之間的距離不超過 ，求P的最大 值．
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