【例題求解】
【例1】 若 ，則 的值為 ．

思路點撥 視 為整體，令 ，用換元法求出 即可．


【例2】 若方程 有兩個不相等的實數根，則實數 的取值范圍是( )
A． B． C． D．

思路點撥 通過平方有理化，將無理方程根的個數討論轉化為一元二次方程實根個數的討論，但需注意注 的隱含制約．



注：轉化與化歸是一種重要的數學思想，在數學學習與解數學題中，我們常常用到下列不同途徑的轉化：實際問題轉化大為數學問題 ，數與形的轉化，常量與變量的轉化，一般與特殊的轉化等．
解下列方程：
（1） ；

(2) ；

（3） ．

按照常規思路求解繁難，應恰當轉化，對于(1)，利用倒數關系換元；對于(2)，從 受到啟示；對于(3)，設 ，則可導出 、 的結果．



注：換元是建立在觀察基礎上的，換元不拘泥于一元代換，可根據問題的特點，進行多元代換．
【例4】 若 關于 的方程 只有一個解(相等的解也算作一個)，試求 的值與方程的解．
思路點撥 先將分式方程轉化為整式方程，把分式方程解的討論轉化為整式方程的解的討論，“只有一個解”內涵豐富，在全面分析的基礎上求出 的值．


注：分式方程轉化為整式方程不一定是等價轉化，有可能產生增根，分式方程只有一個 解，可能足轉化后所得的整式方程只有一個解，也可能是轉化后的整式方程有兩個解，而其中一個是原方程的增根，故分式方程的解的討論，要運用判別式、增根等知識全面分析．
【例5】 已知關于 的方程 有兩個根相等，求 的值．
思路點撥 通過換元可得到兩個關于 的含參數 的一元二次方程，利用判別式求出 的值．

注：運用根的判別式延 伸到分式方程、高次方程根的情況的探討，是近年中考、競賽中一類新題型，盡管這種探討仍以一元二次方程的根為基礎，但對轉換能力、思維周密提出了較高要求．

學歷訓練

1．若關于 的方程 有增根，則 的值為 ；若關于 的方程 曾＝一1的解為正數，則 的取值范圍是 ．
2．解方程 得 ．

3．已知方程 有一個根是2，則 = ．
4．方程 的全體實數根的積為( )
A．60 B．一60 C．10 D．一10
5．解關于 的方程 不會產生增根，則是的值是( )
A．2 B．1 C．不為2或一2 D．無法確定
6．已知實數 滿足 ，那么 的值為( )
A．1或一2 B．一1或2 C．1 D．一2

7．(1)如表，方程1、方程2、方程3、……，是按照一定規律排列的一列方程，解方程1，并將它的解填在表中的空格處；
(2)若方程 ( )的解是 =6， =10，求 、 的值．該方程是不是(1)中所給的一列方程中的一個方程?如果是，它是第幾個方程?
(3)請寫出這列方程中的第 個方程和它的解，并驗證所寫出的解適合第 個方程．
序號方 程方程的解
1 = =
2 =4 =6
3 =5 =8
…………
8．解下列方程 ：
（1 ） ；
（2） ；
(3) ；
(4) ．
9．已知關于 的方程 ，其中 為實數，當m為何值時，方程恰有三個互不相等的實數根?求出這三個實數根．
10．方程 的解是 ．

11．解方程 得 ．

12．方程 的解是 ．

13．若關于 的方程 恰有兩個不同的實數解，則實數 的取值范圍是 ．
14．解下列方程：
(1) ；
(2) ；
（3） ；
（4） ．
15．當 取何值時，方程 有負數解?

16．已知 ，求 的值．
17．已知：如圖，四邊形ABCD為菱形，AF⊥上AD交BD于E點，交BC于點F．
(1)求證：AD2= DE×DB；
(2)過點E作EG⊥AE交AB于點G，若線段BE、DE(BE0)的兩個根，且菱形ABCD的面積為 ，求EG的長
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