1．利用根的定義構造
當已知等式具有相同的結構，就可把某兩個變元看成是關于某個字母的一元二次方程的兩根．
2．利用韋達定理逆定理構造
若問題中有形如 ， 的關系式時，則 、 可看作方程 的兩實根．
3．確定主元構造
對于含有多個變元的等式，可以將等式整理為關于某個字母的一元二次方程．
成功的構造是建立在敏銳的觀察、恰當的變形、廣泛的聯想的基礎之上的；成功的構造能收到明快簡捷、出奇制勝的效果．
注： 許多數學問題表面上看難以求解，但如果我們創造性地運用已知條件，以已知條件為素材，以 所求結論為方向，有效地運用數學知識，構造出一種輔助問題及其數學形式，就能使問題在新的形式下獲得簡解，這就是解題中的“構造”策略，構造圖形，構造方程、構造函數、構造反例是常用構造方法．
【例題求 解】
【例1】 已知 、 是正整數，并且 ， ，則 ．
思路點撥 ，變形題設條件，可視 、 為某個一元二次方程兩根，這樣問題可從整體上獲得簡解．
【例2】 若 ，且有 及 ，則 的值是( )
A． B． C． D．
思路點撥 第二個方程可變形為 ，這樣兩個方程具有相同的結構，從利用定義構造方程入手．
【例3】 已知實數 、 滿足 ，且 ，求 的取值范圍．
思路點撥 由兩個等式可求出 、 的表達式，這樣既可以從配方法入手，又能從構造方程的角度去探索，有較大的思維空間．
【例4】 已知實數 、 、 滿足 ， ．
(1)求 、 、 中最大者的最小值；
(2)求 的最小值．
思路點撥 不妨設a≥b，a≥c，由條件得 ， ．構造以b、c為實根的一元二次方程，通過△≥0探求 的取值范圍，并以此為基礎去解(2)．
注： 構造一元二次方程，在問題有解的前提下，運用判 別式△≥0，建立含參數的不等式，
縮小范圍逼近求解，在求字母的取值范圍，求最值等方面有廣泛的應用．
【例5】 試求出這樣的四位數，它的前兩位數字與后兩位數字分別組成的二位數之和的平方，恰好等于這個四位數． (2003年全國初中數學聯賽試題)
思路點撥 設前后兩個二位數分別為 ， ，則有 ，將此方程整理成關于 (或 )的一元二次方程，在方程有解的前提下，運用判別式確定 (或 )的取值范圍．
學歷訓練
1．若方程 的兩個實數根的倒數和是 ，則 的取值范圍是 ．
2．如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB＝5，CD⊥AB，已知BC、AC是一元二次方程 的兩個根，則m的值是 ．
3．已知 、 滿足 ， ，則 = ．
4．已知 ， ，，則 的值為( )
A．2 B．-2 C．-1 D． 0
5．已知梯形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，則四邊形ABCD的面積S的最小值為( )
A．21 B． 25 C．26 D． 36
6．如圖，菱形A6CD的邊長是5，兩條對角線交于O點，且AO、BO的長分別是關于 的方程的根，則m的值為( )
A．一3 B．5 C．5或一3 n一5或3
7．已知 ， ，其中 、 為實數，求 的值．
8．已知 和 是正整數，并且滿足條件 ， ，求 的值．
9．已知 ， ，其中m、n為實數，則 ＝ ．
10．如果 、 、 為互不相等的實數，且滿足關系式 與 ，那么 的取值范圍是 ．
11．已知 ， 則 = ， = ．；
12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，AB＝c，若D、E分別是AB和AB延長線上的兩點，BD=BC，CE⊥CD，則以AD和AE的長為根的一元二次方程是 ．
13．已知 、 、 均為實數，且 ， ，求 的最小值．
14．設實數 、 、 滿足 ，求 的取值范圍．
15．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB， ，梯形的高AE= ，且 ．
(1)求∠ B的度數；
(2)設點M為梯形對角線AC上一點，DM的延長線 與BC相交于點F，當 ，求作以CF、DF的長為根的一元二次方程．
16．如圖，已知△ABC和平行于BC的直線DE，且△BDE的面積等于定值 ，那么當 與△BDE之間滿足什么關系時，存在直線DE，有幾條?
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