一元二次方程的根與系數的關系，通常也稱為韋達定理，這是因為該定理是由16世紀法國最杰出的數學家韋達 發現的．
韋達定理簡單的形式中包含了豐富的數學內容，應用廣泛，主要體現在：
運用韋達定理，求方程中參數的值；
運用韋達定理，求代數式的值；
利用韋達定理并結合根的判別式，討論根的符號特征；
利用韋達定理逆定理，構造一元二次方程輔助解題等．
韋達定理具有對稱性，設而不求、整體代入是利用韋達定理解題的基本思路．
韋達定理，充滿 活力，它與代數、幾何中許多知識可有機結合，生成豐富多彩的數學問題，而解這類問題常用到對稱分析、構造等數學思想方法．
【例題求解】
【例1】 已知 、 是方程 的兩個實數 根，則代數式 的值為 ．
思路點撥 所求代數式為 、 的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉化為(例
【例2】如果 、 都是質數，且 ， ，那么 的值為( )
A． B． 或2 C． D． 或2
思路點撥 可將兩個等式相減，得到 、 的關系，由于兩個等式結構相同，可視 、 為方程 的兩實根，這樣就為根與系數關系的應用創造了條件．
注：應用韋達定理的代數式的值，一般是關于 、 的對稱式，這類問題可通過變形用 + 、 表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧：
(1)恰當組合；
(2)根據根的定義降次；
(3)構造對稱式．
【例3 】 已知關于 的方程：
(1)求證：無論m取什么實數值，這個方程總有兩個相異實根．
(2)若這個方程的兩個實根 、 滿足 ，求m的值及 相應的 、 ．
思路點撥 對于(2)，先判定 、 的符號特征，并從分類討論入手．
【例4】 設 、 是方程 的兩個實數根，當m為何值時 ， 有最小值?并求出這個最小值．
思 路點撥 利用根與系數關系把待求式用m的代數式表示，再從配方法入手，應注意本例是在一定約束條件下(△≥0)進行的．
注：應用韋達定理的前提條件是一元二次方程有兩個實數根，即應用韋達定理 解題時，須滿足判別式△≥0這一條件，轉化是一種重要的數學思想方法，但要注意轉化前后問題 的等價性．
【例5】 已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的長是關于 的方程 的兩個根．
(1)當m＝2和m>2時，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由．
(2)若M、N分別是AD、BC的中點，線段MN分別交AC、BD于點P，Q，PQ＝1，且AB
注：在處理以線段的長為根的一元二次方程問題時，往往通過韋達定理、幾何性質將幾何問題從“形”向“數”(方程)轉化，既要注意通過根的判別式的檢驗，又要考慮幾何量的非負性．
學歷訓練
1．(1)已知 和 為一元二次方程 的兩個實根，并 和 滿足不等式 ，則實數 取值范圍是 ．
(2)已知關于 的一元二次方程 有兩個負數根，那么實數 的取值范圍是 ．
2．已知 、 是方程的兩個實數根，則代數式 的值為 ．
3．CD是Rt△ABC斜邊上的高線，AD、BD是方程 的兩根，則△ABC的面積是 ．
4．設 、 是關于 的方程 的兩根， +1、 +1是關于 的方程 的兩根，則 、 的值分別等于( )
A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，a、b是關于
的方程 的兩根，那么AB邊上的 中線長是( )
A． B． C．5 D．2
6．方程 恰有兩個正整數根 、 ，則 的值是( )
A．1 B．-l C． D．
7．若關于 的一元二次方程的兩個實數根滿足關系式： ，判斷 是否正確?
8．已知關于 的方程 ．
(1)當 是為何值時，此方程有實數根；
(2)若此方程的兩個實數根 、 滿足： ，求 的值．
9．已知方程 的兩根均為正整數，且 ，那 么這個方程兩根為 ．
10．已知 、 是方程 的兩個根，則 的值為 ．
11．△ABC的一邊長為5，另兩邊長恰為方程 的兩根，則m的取值范圍是 ．
12．兩個質數 、 恰好是整系數方程的兩個根，則 的值是( )
A．9413 B． C． D．
13．設方程有一個正根 ，一個負根 ，則以 、 為根的一元二次方程為( )
A． B．
C． D．
14．如果方程 的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數m的取值范圍是( )
A．0≤m≤1 B．m≥ C． D． ≤m≤1
15．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的長為10，且AB、BC(AB>BC)的長是關于 的方程的兩個根．
(1)求rn的值；
（2）若E是AB上的一點，CF⊥DE于F，求BE為何值時，△CEF的面積是△CED的面積的 ，請說明理由．
16．設m是不小于 的實數，使得關于 的方程工 有兩個不相等的實數根 、 ．
(1)若 ，求m的值．
(2)求 的最大值．
17．如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，過C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又關于x的方程 兩實數根的差的平方小于192，求整數m、n的值．
18．設 、 、 為三個不同的實數，使得方程和 和 有一個相同的實數根，并且使方程 和 也有一個相同的實數根，試求 的值．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.www.sxccs.com/chusan/56611.html
相關閱讀：九年級數學競賽圓與圓輔導教案