中考數學總復習 專題基礎知識回顧四 三角形
一、單元知識網絡：
二、考試目標要求：
1．了解三角形有關概念（內角、外角、中線、高、角平分線），會畫出任意三角形的角平分線、中線
和高，了解三角形的穩定性.
2．探索并掌握三角形中位線的性質.
3．了解全等三角形的概念，探索并掌握兩個三角形全等的條.
4．了解等腰三角形的有關概念，探索并掌握等腰三角形的性質和一個三角形是等腰三角形的條；
了解等邊三角形的概念并探索其性質.
5．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質和一個三角形是直角三角形的條.
6．體驗勾股定理的探索過程，會運用勾股定理解決簡單問題；會用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
三、知識考點梳理
知識點一、三角形的概念及其性質
1．三角形的概念
由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.
2．三角形的分類
(1)按邊分類：
(2)按角分類：
3．三角形的內角和外角
(1)三角形的內角和等于180°.
(2)三角形的任一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰
的內角.
4．三角形三邊之間的關系
三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.
5．三角形內角與對邊對應關系
在同一個三角形內，大邊對大角，大角對大邊；在同一三角形中，等邊對等角，等角對等邊.
6．三角形具有穩定性.
知識點二、三角形的“四心”和中位線
三角形中的四條特殊的線段是：高線、角平分線、中線、中位線.
1．內心：
三角形角平分線的交點，是三角形內切圓的圓心，它到各邊的距離相等.
2．外心：
三角形三邊垂直平分線的交點，是三角形外接圓的圓心，它到三個頂點的距離相等.
3．重心：
三角形三條中線的交點，它到每個頂點的距離等于它到對邊中點距離的2倍.
4．垂心：
三角形三條高線的交點.
5．三角形的中位線：
連結三角形兩邊中點的線段是三角形的中位線.
中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.
要點詮釋：
(1)三角形的內心、重心都在三角形的內部.
(2)鈍角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.
(3)直角三角形的垂心為直角頂點，外心為直角三角形斜邊的中點.
(4)銳角三角形的垂心、外心都在三角形的內部.
知識點三、全等三角形
1．定義：
能完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.
2．性質：
(1)對應邊相等
(2)對應角相等
(3)對應角的平分線、對應邊的中線和高相等
(4)周長、面積相等
3．判定：
(1)邊角邊(SAS)
(2)角邊角(ASA)
(3)角角邊(AAS)
(4)邊邊邊(SSS)
(5)斜邊直角邊(HL)(適用于直角三角形)
要點詮釋：
判定三角形全等至少必須有一組對應邊相等.
知識點四、等腰三角形
1．定義：
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.
2．性質：
(1)具有三角形的一切性質.
(2)兩底角相等(等邊對等角)
(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)
(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60°.
3．判定：
(1)如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)；
(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；
(3)有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.
要點詮釋：
(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形.
知識點五、直角三角形
1．定義：
有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.
2．性質：
(1)直角三角形中兩銳角互余；
(2)直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半.
(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.
(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.
(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；
(7)SRt△ABC= ch= ab，其中a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高.
3．判定：
(1)兩內角互余的三角形是直角三角形；
(2)一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對的角是直角，則這個三角形是直角三角形.
(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形，第三邊為斜邊.
知識點六、線段垂直平分線和角平分線
1．線段垂直平分線：
經過線段的中點并且垂直這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.
線段垂直平分線的定理：
(1)線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.
(2)與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.
線段垂直平分線可以看作是與線段兩個端點距離相等的所有點的集合.
2．角平分線的性質：
(1)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等；
(2)到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上；
(3)角的平分線可以看做是到角的兩邊距離相等的所有點的集合.
四、規律方法指導
1．數形結合思想
本單元中所學的三角形性質、角平分線性質、全等三角形的性質、直角三角形中的勾股定理等，都是在結合圖形的基礎上，求線段或角的度數，證明線段或角相等.在幾何學習中，應會利用幾何圖形解決實際問題.
2．分類討論思想
在沒給圖形的前提下，畫三角形或三角形一邊上的高、三角形的垂心、外心時要考慮分類：三種情況，銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.
3. 化歸與轉化思想
在解決利用三角形的基礎知識計算、證明問題時，通過做輔助線、利用所學知識進行準確推理等轉化手段，歸結為另一個相對較容易解決的或者已經有解決模式的問題，已知與未知之間的轉化；數與形的轉化；一般與特殊的轉化.
4．注意觀察、分析、總結
應將三角形的判定及性質作為重點，對于特殊三角形的判定及性質要記住并能靈活運用，注重積累解題思路和運用數學思想和方法解決問題的能力和培養，淡化純粹的幾何證明.
學會演繹推理的方法，提高邏輯推理能力和邏輯表達能力，掌握幾何證明中的分析，綜合，轉化等數學思想.
經典例題透析
考點一、三角形的概念及其性質
1．（1）（2010東濟寧）若一個三角形三個內角度數的比為2?3?4，那么這個三角形是（ ）
A. 直角三角形 B. 銳角三角形 C. 鈍角三角形 D. 等邊三角形
思路點撥：三角形的內角和為180°，三個內角度數的份數和是9，每一份度數是20，則三個內角度數分別為40°、60°、80°，是銳角三角形.
答案：B
（2）三角形的三邊分別為3，1-2a，8，則a的取值范圍是( )
A．-6＜a＜-3 B．-5＜a＜-2 C．2＜a＜5 D．a＜-5或a＞-2
思路點撥：涉及到三角形三邊關系時，盡可能簡化運算，注意運算的準確性.
解析：根據三角形三邊關系得：8-3＜1-2a＜8+3，解得-5＜a＜-2，應選B.
舉一反三：
【變式1】已知a，b，c為△ABC的三條邊，化簡 得_________.
思路點撥：本題利用三角形三邊關系，使問題代數化，從而化簡得出結論.
解析：∵a，b，c為△ABC的三條邊 ∴a-b-c＜0， b-a-c＜0
∴ =(b+c-a)+(a+c-b)=2c.
【變式2】有五根細木棒，長度分別為1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，現任取其中的三根木棒，組成一個三角形，問有幾種可能( )
A.1種 B.2種 C.3種 D.4種
解析：只有3、5、7或3、7、9或5、7、9三種.應選C.
【變式3】等腰三角形中兩條邊長分別為3、4，則三角形的周長是_________.
思路點撥：要分類討論，給出的邊長中，可能分別是腰或底.注意滿足三角形三邊關系.
解析：(1)當腰為3時，周長=3+3+4=10；(2)當腰為4時，周長=3+4+4=11.所以答案為10或11.
2．（1）（2010寧波市）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是△ABC、△BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有 （ ）
A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
考點：等腰三角形
答案：A
（2）如圖在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，則∠CBD的度數是______.
考點：直角三角形兩銳角互余.
解析：△ABC 中，∠C=∠ABC-∠A =90°-50°=40°
又∵BD∥AC， ∴∠CBD=∠C=40°.
3．已知△ABC的三個內角∠A、∠B、∠C滿足關系式∠B+∠C=3∠A，則此三角形中( )
A.一定有一個內角為45° B.一定有一個內角為60°
C.一定是直角三角形 D.一定是鈍角三角形
考點：三角形內角和180°.
思路點撥：會靈活運和三角形內角和等于180°這一定理，即∠B+∠C=180°-∠A.
解析：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°-∠A
∵∠B+∠C=3∠A，∴180°-∠A=3∠A，∴ ∠A=45°，∴選A，其它三個答案不能確定.
舉一反三：
【變式1】下圖能說明∠1＞∠2的是( )
考點：三角形外角性質.
思路點撥：本類題目考查學生了解三角形外角大于任何一個不相鄰的內角.
解析：A中∠1和∠2是對頂角，∠1=∠2；B中∠1和∠2是同位角，若兩直線平行則相等，不平行則不一定相等；C中∠1是三角形的一個外角，∠2是和它不相鄰的內角，所以∠1＞∠2.D中∠1和∠2的大小相等.故選C.
總結升華：三角形內角和180°以及邊角之間的關系，在習題中往往是一個隱藏的已知條，在做題時要注意審題，并隨時作為檢驗自己解題是否正確的標準.
【變式2】如果三角形的一個內角等于其他兩個內角的和，這個三角形是( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不能確定
思路點撥：理解直角三角形定義，結合三角形內角和得出結論.
解析：若△ABC的三個內角∠A、∠B、∠C中，∠A+∠B=∠C
又∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠C=180°，可得∠C=90°，所以選C.
【變式3】下列命題：(1)等邊三角形也是等腰三角形；(2)三角形的外角等于兩個內角的和；(3)三角形中最大的內角不能小于60°；(4)銳角三角形中，任意兩內角之和必大于90°，其中錯誤的個數是( )
A.0 個 B.1個 C.2個 D.3個
思路點撥：本題的解題關鍵是要理解定義，掌握每種三角形中角的度數的確定.
解析：(2)中應強調三角形的外角等于不相鄰的兩個內角的和；三角形中最大的內角若小于60°，則三個角的和就小于180°，不符合三角形內角和定理，故(3)正確；(4)三角形中，任意兩內角之和若不大于90°，則另一個內角就大于或等于90°，就不能是銳角三角形.所以中有(2)錯，故選B.
考點二、三角形的“四心”和中位線
4．（1）與三角形三個頂點距離相等的點是這個三角形的( )
A.二條中線的交點 B. 二條高線的交點
C.三條角平分線的交點 D.三邊中垂線的交點
考點：線段垂直平分線的定理.
思路點撥：三角形三邊垂直平分線的交點是外心，是三角形外接圓的圓心，到三角形三個頂點距離相等.答案D若改成二邊中垂線的交點也正確.
（２）（2010四川眉）如圖，將第一個圖（圖①）所示的正三角形連結各邊中點進行分割，得到第二個圖（圖②）；再將第二個圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進行分割，得到第三個圖（圖③）；再將第三個圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進行分割，……，則得到的第五個圖中，共有________個正三角形．
考點：三角形中位線找規律
思路點撥：圖①有１個正三角形；圖②有（１＋４）個正三角形；
圖③有（１＋４＋４）個正三角形；圖④有（１＋４＋４＋４）個正三角形；
圖⑤有（１＋４＋４＋４＋４）個正三角形；…．
答案：17
5．一個三角形的內心在它的一條高線上，則這個三角形一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
考點：三角形角平分線定理.
思路點撥：本題考查三角形的內心是三角形角平分線的交點，若內心在一條高線上，又符合三線合一的性質.所以該三角形是等腰三角形.故選B.
舉一反三：
【變式1】如圖，已知△ABC中，∠A=58°，如果(1)O為外心；(2)O為內心；(3)O為垂心；分別求∠BOC的度數.
考點：三角形外心、內心、垂心性質.
解析：∠A是銳角時，(1)O為外心時，∠BOC=2∠A =116°；
(2)O為內心時，∠BOC=90°+ ∠A=119°；
(3)O為垂心，∠BOC=180°-∠A=122°.
【變式2】如果一個三角形的內心，外心都在三角形內，則這個三角形是( )
A.銳角三角形 B.只有兩邊相等的銳角三角形
C.直角三角形 D.銳角三角形或直角三角形
解析：三角形的內心都在三角形內部；銳角三角形外心在三角形內部；直角三角形的外心在三角形斜邊的中點上、鈍角三角形的外心三角形外部.故選A.
【變式3】能把一個三角形分成兩個面積相等的三角形的線段，是三角形的( )
A.中線 B.高線 C.邊的中垂線 D.角平分線
思路點撥：三角形面積相等，可利用底、高相等或相同得到.
解析：三角形的一條中線分得的兩個三角形底相等，高相同.應選A.
6．（1）（2010廣東茂名）如圖，吳伯伯家有一塊等邊三角形的空地ABC，已知點E、F分別是邊AB、AC的中點，量得EF＝5米，他想把四邊形BCFE用籬笆圍成一圈放養小雞，則需用籬笆的長是（ ）
A、15米 B、20米 C、25米 D、30米
考點：三角形中位線定理.
思路點撥：ＢＥ=ＡＥ＝５ ，ＣＦ＝ＦＡ＝５，ＢＣ＝２ＥＦ＝１０
答案：C
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