安徽省亳州市蒙城縣2015屆九年級上學期期末數學試卷
一、選擇題（每小題4分，共40分）
1．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，則sinA等于（）
A． B． C． D． 1
2．拋物線y=?（x?3）2+8的對稱軸是（）
A． 直線x=?8 B． 直線x=8 C． 直線x=3 D． 直線x=?3
3．下列函數中，當x＞0時，y隨x的增大而減小的是（）
A． y=3x B． y= C． y=? D． y=2x2
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，則BC的長為（）
A． B． 7sin55° C． cos55° D． tan55°
5．已知一次函數y=ax+b與反比例函數y= 圖象交于M、N兩點，則不等式ax+b＞ 解集為（）
A． x＞2 B． ?1＜x＜0
C． ?1＜x＜0或0＜x＜2 D． x＞2或?1＜x＜0
6．如圖所示，將△ABC的三邊分別擴大一倍得到△A1B1C1，（頂點均在格點上），它們是以P點為位似中心的位似圖形，則P點的坐標是（）
A． （?4，?3） B． （?3，?3） C． （?4，?4） D． （?3，?4）
7．如圖，AB是⊙O的弦，半徑OA=2，∠AOB=120°，則弦AB的長是（）
A． B． C． D．
8．如圖，△ABC中，點D在線段AB上，且∠BAD=∠C，則下列結論一定正確的是（）
A． AB2=AC•BD B． AB•AD=BD•BC C． AB2=BC•BD D． AB•AD=BD•CD
9．如圖所示，二次函數y=ax2+bx+c的圖象中，王剛同學觀察得出了下面四條信息：（1）b2?4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a?b＜0；（4）a+b+c＜0，其中錯誤的有（）
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
10．小翔在如圖1所示的場地上勻速跑步，他從點A出發，沿箭頭所示方向經過點B跑到點C，共用時30秒．他的教練選擇了一個固定的位置觀察小翔的跑步過程．設小翔跑步的時間為t（單位：秒），他與教練的距離為y（單位：米），表示y與t的函數關系的圖象大致如圖2所示，則這個固定位置可能是圖1中的（）
A． 點M B． 點N C． 點P D． 點Q
二、填空題（本題共4個小題，每小題5分，共20分）
11．已知，如圖，⊙O是△ABC的外接圓，OD⊥AC交圓于D，連接AD，CD，BD，∠ABD=50°．則∠DBC=．
12．已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為常數），對稱軸為直線x=1，它的部分自變量與函數值y的對應值如下表，寫出方程ax2+bx+c=0的一個正數解的近似值（精確到0.1）．
x ?0.1 ?0.2 ?0.3 ?0.4
y=ax2+bx+c ?0.58 ?0.12 0.38 0.92
13．如圖，已知菱形OABC，點C在x軸上，直線y=x經過點A，菱形OABC面積是 ，若反比例函數圖象經過點B，則此反比例函數表達式為．
14．已知．如圖，P為△ABC中線AD上一點，AP：PD=2：1，延長BP、CP分別交AC、AB于E、F，EF交AD于Q．
（1）FQ=EQ；
（2）FP：PC=EC：AE；
（3）FQ：BD=PQ：PD；
（4）S△FPQ：S△DCP=S△AEF：S△ABC，
上述結論中，正確的有（填上你認為正確的結論前的序號）．
三、（本題共2個小題，每小題8分，共16分）
15．求值： sin60°+2sin30°?tan30° ?tan45°．
16．已知拋物線y=?2x2?x+6．
（1）用配方法確定它的頂點坐標、對稱軸；
（2）x取何值時，y＜0？
四、（本題共2小題，每小題8分，共16分）
17．如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，在建立平面直角坐標系后，△ABC的頂點均在格點上，點C的坐標為（4，?1）．
（1）把△ABC繞著原 點O逆時針旋轉90°得△A1B1C1，畫出△A1B1C1，并寫出C1的坐標．
（2）若△ABC中的一點P（a，b），在①中變換下對應△A′B′C′中為P′點，請直接寫出點P′的坐標（用含a、b的代數式表示）
18．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O的上，點E在⊙O的外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度數；
（2）求證：AE是⊙O的切線．
五、（本題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．如圖，已知直線y= x與雙曲線y= （k＞0）交于A，B兩點，且點A的橫坐標為4．
（1）求k的值；
（2）若雙曲線y= （k＞0）上一點C的縱坐標為?8，求△BOC的面積．
20．如圖，己知：Rt△ABC中，∠BAC=9O°，AD⊥BC于D，E是AC的中點，ED交AB延長線于F，求證：
①△ABD∽△CAD；
②AB：AC=DF：AF．
六、（本題滿分12分 ）
21．已知：如圖，斜坡AP的坡度為1：2.4，坡長AP為26米，在坡頂A處的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°，在坡頂A處測得該塔的塔頂B的仰角為76°．求：
（1）坡頂A到地面PQ的距離；
（2）古塔BC的高度（結果精確到1米）．（參考數據：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
七、（本題12分）
22．如圖所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A點出發，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，設運動時間為x．
（1）當x為何值時，PQ∥BC；
（2）當 ，求 的值；
（3）△APQ能否與△CQB相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由．
23．農產品的供銷具有一定的季節性，在某段時間內，某農資市場西紅柿的供給價格（批發價）和零售價格以及市場需要量隨時間 的變化如表所示：
時間t/月 三月 四月 五月 六月 七月 八月
市場需要量Q/噸每天 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
供給價格y1/元每千克 5 4.8 4.6 4.4 4.2 4
零售價格y2/元每千克 7.2 6.9 6.6 6.3 6 5.7
求：（1）此階段市場需要量 （Q/噸）與時間（t/月）之間的函數關系式；
（2）每千克西紅柿的利潤（y/元）與時間（t/月）之間的函數關系式；（每千克利潤=零售價一供給價）
（3）商戶在幾月份經營西紅柿能獲的最大收益．
安徽省亳州市蒙城縣2015屆九年級上學期期末數學試卷
一、選擇題（每小題4分，共40分）
1．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，則sinA等于（）
A． B． C． D． 1
考點： 特殊角的三角函數值．
分析： 根據等腰直角三角形的性質及特殊角的三角函數值解答．
解答： 解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠A=45°，sinA= ．
故選B．
點評： 本題考查特殊角的三角函數值，特殊角的三角函數值的計算在2015屆中考中經常出現，題型以選擇題、填空題為主．
2．拋物線y=?（x?3）2+8的對稱軸是（）
A． 直線x=?8 B． 直線x=8 C． 直線x=3 D． 直線x=?3
考點： 二次函數的性質．
分析： 利用二次函數的性質求解即可．
解答： 解：拋物線y=?（x?3）2+8的對稱軸是x=3．
故選：C．
點評： 本題主要考查了二次函數的性質，解題的關鍵是熟記二次函數的性質．
3．下列函 數中，當x＞0時，y隨x的增大而減小的是（）
A． y=3x B． y= C． y=? D． y=2x2
考點： 二次函數的性質；正比例函數的性質；反比例函數的性質．
分析： 利用一次函數，二次函數，反比例函數及正比例函數的性質判定即可．
解答： 解：A、y=3x，y隨x的增大而增大，故本選項錯誤，
B、y= ，y隨x的增大而減小，故本選項正確，
C、y=? ，y隨x的增大而增大，故本選項錯誤，
D、y=2x2，當x＜0時，y隨x的增大而減小，當x＞0時，y隨x的增大而增大，故本選項錯誤，
故選：B．
點評： 本題主要考查了一次函數，二次函數，反比例函數及正比例函數的性質，解題的關鍵是熟記一次函數，二次函數，反比例函數及正比例函數的性質．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，則BC的長為（）
A． B． 7sin55° C． cos55° D． tan55°
考點： 銳角三角函數的定義．
分析： 根據互為余角三角函數，可得∠A的度數，根據角的正弦，可得答案．
解答： 解：由∠A=90°?35°=55°，
由正弦函數的定義，得
sin55°= ，
BC=ABsin55°=7sin55°，
故選：B．
點評： 本題考查了銳角三角函數，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．
5．已知一次函數y=ax+b與反比例函數y= 圖象交于M、N兩點，則不等式ax+b＞ 解集為（）
A． x＞2 B． ?1＜x＜0
C． ?1＜x＜0或0＜x＜2 D． x＞2或?1＜x＜0
考點： 反比例函數與一次函數的交點問題．
分析： 根據函數圖象寫出一次函數圖象在反比例函數圖象上方部分的x的取值范圍即可．
解答： 解：由圖可知，x＞2或?1＜x＜0時，ax+b＞ ．
故選D．
點評： 本題考查了反比例函數與一次函數的交點，利用數形結合，準確識圖是解題的關鍵．
6．如圖所示，將△ABC的三邊分別擴大一倍得到△A1B1C1，（頂點均在格點上），它們是以P點為位似中心的位似圖形，則P點的坐標是（）
A． （?4，?3） B． （?3，?3） C． （?4，?4） D． （?3，?4）
考點： 位似變換．
專題： 壓軸題；網格型．
分析： 作直線AA1、BB1，這兩條直線的交點即為位似中心．
解答： 解：由圖中可知，點P的坐標為（?4，?3），故選A．
點評： 用到的知識點為：兩對對應點連線的交點為位似中心．
7．如圖，AB是⊙O的弦，半徑OA=2，∠AOB=120°，則弦AB的長是（）
A． B． C． D．
考點： 垂徑定理；解直角三角形．
分析： 過O作弦AB的垂線，通過構建直角三角形求出弦AB的長．
解答： 解：過O作OC⊥AB于C．
在Rt△OAC中，OA=2，∠AOC= ∠AOB=60°，
∴AC=OA•sin60°= ，
因此AB=2AC=2 ．
故選B．
點評： 此題主要考查了垂徑定理及解直角三角形的應用．
8．如圖，△ABC中，點D在線段AB上，且∠BAD=∠C，則下列結論一定正確的是（）
A． AB2=AC•BD B． AB•AD=BD•BC C． AB2=BC•BD D． AB•AD=BD•CD
考點： 射影定理．
分析： 先證明△BAD∽△BCA，則利用相似的性質得AB：BC=BD：AB，然后根據比例性質得到AB2=BC•BD．
解答： 解：∵∠BAD=∠C，
而∠ABD=∠CBA，
∴△BAD∽△BCA，
∴AB：BC=BD：AB，
∴AB2=BC•BD．
故選C．
點評： 本題考查了射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．也考查了相似三角形的判定與性質．
9．如圖所示，二次函數y=ax2+bx+c的圖象中，王剛同學觀察得出了下面四條信息：（1）b2?4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a?b＜0；（4）a+b+c＜0，其中錯誤的有（）
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
考點： 二次函數圖象與系數的關系．
專題： 壓軸題．
分析： 由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
解答： 解：（1）圖象與x軸有2個交點，依據根的判別式可知b2?4ac＞0，正確；
（2）圖象與y軸的交點在1的下方，所以c＜1，錯誤；
（3）∵對稱軸在?1的右邊，∴? ＞?1，又∵a＜0，∴2a?b＜0，正確；
（4）當x=1時，y=a+b+c＜0，正確；
故錯誤的有1個．
故選：A．
點評： 本題主要考查二次函數圖象與系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運用．
10．小翔在如圖1所示的場地上勻速跑步，他從點A出發，沿箭頭所示方向經過點B跑到點C，共用時30秒．他的教練選擇了一個固定的位置觀察小翔的跑步過程．設小翔跑步的時間為t（單位：秒），他與教練的距離為y（單位：米），表示y與t的函數關系的圖象大致如圖2所示，則這個固定位置可能是圖1中的（）
A． 點M B． 點N C． 點P D． 點Q
考點： 動點問題的函數圖象．
專題： 應用題；壓軸題．
分析： 分別假設這個位置在點M、N、P、Q，然后結合函數圖象進行判斷．利用排除法即可得出答案．
解答： 解：A、假設這個位置在點M，則從A至B這段時間，y不隨時間的變化改變，與函數圖象不符，故本選項錯誤；
B、假設這個位置在點N，則從A至C這段時間，A點與C點對應y的大小應該相同，與函數圖象不符，故本選項錯誤；
C、 ，
假設這個位置在點P，則由函數圖象可得，從A到C的過程中，會有一個時刻，教練到小翔的距離等于經過30秒時教練到小翔的距離，而點P不符合這個條件，故本選項錯誤；
D、經判斷點Q符合函數圖象，故本選項正確；
故選：D．
點評： 此題考查了動點問題的函數圖象，解答本題要注意依次判斷各點位置的可能性，點P的位置不好排除，同學們要注意仔細觀察．
二、填空題（本題共4個小題，每小題5分，共20分）
1 1．已知，如圖，⊙O是△ABC的外接圓，OD⊥AC交圓于D，連接AD，CD，BD，∠ABD=50°．則∠DBC=50°．
考點： 圓周角定理；垂徑定理．
分析： 由OD⊥AC，根據垂徑定理的即可得 = ，然后由圓周角定理可求得∠DBC的答案．
解答： 解：∵OD⊥AC，
∴ = ，
∴∠DBC=∠ABD=50°．
故答案為：50°．
點評： 此題考查了圓周角定理與垂徑定理．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．
12．已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為常數），對稱軸為直線x=1，它的部分自變量與函數值y的對應值如下表，寫出方程ax2+bx+c=0的一個正數解的近似值2.2（精確到0.1）．
x ?0.1 ?0.2 ?0.3 ?0.4
y=ax2+bx+c ?0.58 ? 0.12 0.38 0.92
考點： 圖象法求一元二次方程的近似根．
分析： 根據表格數據找出y的值接近0的x的值，再根據二次函數的對稱性列式求解即可．
解答： 解：由表可知，當x=?0.2時，y的值最接近0，
所以，方程ax2+bx+c=0一個解的近似值為?0.2，
設正數解的近似值為a，
∵對稱軸為直線x=1，
∴ =1，
解得a=2.2．
故答案為：2.2．（答案不唯一，與其相近即可）
點評： 本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，主要利用了二次函數的對稱性，仔細觀察表中數據確定出y值最接近0的x的值是解題的關鍵．
13．如圖，已知菱形OABC，點C在x軸上，直線y=x經過點A，菱形OABC面積是 ，若反比例函數圖象經過點B，則此反比例函數表達式為y= ．
考點： 菱形的性質；待定系數法求反比例函數解析式．
分析： 過點A作AD⊥OC于D，設菱形的邊長為a，求出AD=OD= a，再根據菱形的面積列出方程求出a的值，然后寫出點B的坐標，利用待定系數法求反比例函數解析式解答．
解答： 解：如圖，過點A作AD⊥OC于D，設菱形的邊長為a，
∵直線y=x經過點A，
∴AD=OD= a，
∴菱形OABC面積=a• a= ，
解得a= ，
∴ a= × =1，
∴點B的坐標為（ +1，1），
設反比例函數解析式為y= ，
則 =1，
解得k= +1，
所以，反比例函數表達式為y= ．
故答案為：y= ．
點評： 本題考查了菱形的性質，待定系數法求反比例函數解析式，根據直線解析式求出點A到x軸的距離是解題的關鍵．
14．已知．如圖，P為△ABC中線AD上一點，AP：PD=2：1，延長BP、CP分別交AC、AB于E、F，EF交AD于Q．
（1）FQ=EQ；
（2）FP：PC=EC：AE；
（3）FQ：BD=PQ：PD；
（4）S△FPQ：S△DCP=S△AEF：S△ABC，
上述結論中，正確的有（1）（3）（4）（填上你認為正確的結論前的序號）．
考點： 相似三角形的判定與性質．
分析： 首先延長PD到M，使DM=PD，連接BM、CM，易得四邊形BPCM是平行四邊形，然后由平行線分線段成比例定理，證得AE：AC=AP：AM，AF：AB=AP：AM，繼而證得EF∥BC；然后由相似三角形的性質，證得結論．
解答： 解：延長PD到M，使DM =PD，連接BM、CM，
∵AD是中線，
∴BD=CD，
∴四邊形BPCM是平行四邊形，
∴BP∥MC，CP∥BM，
即PE∥MC，PF∥BM，
∴AE：AC=AP：AM，AF：AB=AP：AM，
∴AF：AB=AE：AC，
∴EF∥BC；
∴△AFQ∽△ABD，△AEQ∽△ACD，
∴FQ：BD=EQ：CD，
∴FQ=EQ，故（1）正確；
∵△△PEF∽△PBC，△AEF∽△ACB，
∴PF：PC=EF：BC，EF：BC=AE：AC，
∴PF：PC=AE：AC，故（2）錯誤；
∵△PFQ∽△PCD，
∴FQ：CD=PQ：PD，
∴FQ：BD=PQ：PD；故（3）正確；
∵S△FPQ：S△DCP=（ ）2=（ ）2=（ ）2，S△AEF：S△ABC=（ ）2，
∴S△FPQ：S△DCP=S△AEF：S△ABC．故（4）正確．
故答案為：（1）（3）（4）．
點評： 此題考查了相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理以及平行四邊形的性質與判定．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．
三、（本題共2個小題，每小題8分，共16分）
15．求值： sin60°+2sin30°?tan30°?tan45°．
考點： 特殊角的三角函數值．
分析： 直接利用特殊角的三角函數值代入求出即可．
解答： 解： sin60°+2sin30°?tan30°?tan45°
= × +2× ? ?1
=? ．
點評： 此題主要考查了特殊角的三角函數值，正確記憶相關數據是解題關鍵．
16．已知拋物線y=?2x2?x+6．
（1）用配方法確定它的頂點坐標、對稱軸；
（2）x取何值時，y＜0？
考點： 二次函數的三種形式．
分析： （1）用配方法時，先提二次項系數，再配方，寫成頂點式，根據頂點式的坐標特點求頂點坐標及對稱軸；
（2）令y=0，確定函數圖象與x軸的交點，結合開口方向判斷x的取值范圍．
解答： 解：（1）y=?2x2?x+6=?2（x2+ x+ ）+ +6=?2（x+ ）2+ ，
頂點坐標（? ， ），
對稱軸是直線x=? ；
（2）令y=0，即?2x2?x+6=0，
解得x=?2或 ，
∵拋物線開口向下，
∴當x＜?2或x＞ 時，y＜0．
點評： 本題考查了二次函數的三種形式，拋物線的頂點式適合于確定拋物線的開口方向，頂點坐標，對稱軸，最大（�。┲担鰷p性等；拋物線的交點式適合于確定函數值y＞0，y=0，y＜0．
四、（本題共2小題，每小題8分，共16分）
17．如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，在建立平面直角坐標系后，△ABC的頂點均在格點上，點C的坐標為（4，?1）．
（1）把△ABC繞著原點O逆時針旋轉90°得△A1B1C1，畫出△A1B1C1，并寫出C1的坐標．
（2）若△ABC中的一點P（a，b），在①中變換下對應△A′B′C′中為P′點，請直接寫出點P′的坐標（用含a、b的代數式表示）
考點： 作圖-旋轉變換．
分析： （1）根據圖形旋轉的性質畫出△A1B1C1，并寫出C1的坐標即可；
（2）根據（1）中C點坐標找出規律即可得出結論．
解答： 解：（1）如圖所示，C1的坐標（1，4）．
（2）∵C（4，?1），C1（1，?4），
∴P’（?b，a）．
點評： 本題考查的是作圖?旋轉變換，熟知圖形旋轉不變性的性質是解答此題的關鍵．
18．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O的上，點E在⊙ O的外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度數；
（2）求證：AE是⊙O的切線．
考點： 切線的判定．
專題： 證明題．
分析： （1）直接根據圓周角定理求解；
（2）根據圓周角定理，由AB是⊙O的直徑得∠ACB=90°，則利用互余可計算出∠BAC=30°，于是得到∠BAE=∠BAC+∠EA=90°，然后根據切線的判定定理得到結論．
解答： （1）解：∵∠D=60°，
∴∠ABC=∠D=60°；
（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°?60°=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
∴BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線．
點評： 本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了圓周角定理．
五、（本題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．如圖，已知直線y= x與雙曲線y= （k＞0）交于A，B兩點，且點A的橫坐標為4．
（1）求k的值；
（2）若雙曲線y= （k＞0）上一點C的縱坐標為?8，求△BOC的面積．
考點： 反比例函數與一次函數的交點問題．
分析： （1）根據正比例函數先求出點A的坐標，從而求出了k值為8；
（2）根據k的幾何意義可知S△COE=S△BOF，所以S梯形CEFB=S△BOC=15．
解答： 解：（1）∵點A橫坐標為4，
∴由y= x可知當x=4時，y=2．
∴點A的坐標為（4，2）．
∵點A是直線y= x與雙曲線y= （k＞0）的交點，
∴k=4×2=8．
（2）如圖，
過點C、B分別作x軸的垂線，垂足為E、F，
∵點C在雙曲線y= 上，當y=?8時，x=?1．
∴點C的坐標為（?1，?8）．
∵點A的坐標為（4，2）．
∴B（?4，?2），
∵點C、B都在雙曲線y= 上，
∴S△COE=S△BOF=4．
∴S△COE+S梯形CEFB=S△COB+S△BOF．
∴S△COB=S梯形CEFB．
∵S梯形CEFB= ×（2+8）×3=15，
∴S△BOC=15．
點評： 主要考查了待定系數法求反比例函數的解析式和反比例函數y= 中k的幾何意義．這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．
20．如圖，己知：Rt△ABC中，∠BAC=9O°，AD⊥BC于D，E是AC的中點，ED交AB延長線于F，求證：
①△ABD∽△CAD；
②AB：AC=DF：AF．
考點： 相似三角形的判定與性質．
專題： 證明題．
分析： （1）由Rt△ABC中，∠BAC=9O°，A D⊥BC，易得∠BAD=∠ACD，又由∠ADB=∠ADC，即可證得△ABD∽△CAD；
（2）由△ABD∽△CAD，即可得 ，易證得△AFD∽△DFB，可得 ，繼而證得結論．
解答： 證明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠BAD=∠ACD，
∵∠ADB=∠ADC，
∴△ABD∽△CAD；
（2）∵△ABD∽△CAD，
∴ ，
∵E是AC中點，∠ADC=90°，
∴ED=EC，
∴∠ACD=∠EDC，
∵∠EDC=∠BDF，∠ACD=∠BAD，
∴∠BAD=∠BDF，
∵∠AFD=∠DFB，
∴△AFD∽△DFB，
∴ ，
∴ ．
點評： 此題考查了相似三角形的判定與性質以及直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．
六、（本題滿分12分）
21．已知：如圖，斜坡AP的坡度為1：2.4，坡長AP為26米，在坡頂A處的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°，在坡頂A處測得該塔的塔頂B的仰角為76°．求：
（1）坡頂A到地面PQ的距離；
（2）古塔BC的高度（結果精確到1米）．（參考數據：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
考點： 解直角三角形的應用-坡度坡角問題；解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
分析： （1）過點A作AH⊥PQ，垂足為點H，利用斜坡AP的坡度為1：2.4，得出AH，PH，AP的關系求出即可；
（2）利用矩形性質求出設BC=x，則x+10=24+DH，再利用tan76°= ，求出即可．
解答： 解：（1）過點A作AH⊥PQ，垂足為點H．
∵斜坡AP的坡度為1：2.4，∴ = ，
設AH=5km，則PH=12km，
由勾股定理，得AP=13km．
∴13k=26m． 解得k=2．
∴AH=10m．
答：坡頂A到地面PQ的距離為10m．
（2）延長BC交PQ于點D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四邊形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．
∵∠BPD=45°，
∴PD=BD．
設BC=x，則x+10=24+DH．∴AC=DH=x?14．
在Rt△ABC中，tan76°= ，即 ≈4.0，
解得x= ，即x≈19，
答：古塔BC的高度約為19米．
點評： 此題主要考查了坡度問題以及仰角的應用，根據已知在直角三角形中得出各邊長度是解題關鍵．
七、（本題12分）
22．如圖所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A點出發，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，設運動時間為x．
（1）當x為何值時，PQ∥BC；
（2）當 ，求 的值；
（3）△APQ能否與△CQB相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由．
考點： 相似三角形的判定與性質；平行線的性質．
專題： 代數幾何綜合題；壓軸題；分類討論．
分析： （1）當PQ∥ BC時，根據平行線分線段成比例定理，可得出關于AP，PQ，AB，AC的比例關系式，我們可根據P，Q的速度，用時間x表示出AP，AQ，然后根據得出的關系式求出x的值．
（2）我們先看當 時能得出什么條件，由于這兩個三角形在AC邊上的高相等，那么他們的底邊的比就應該是面積比，由此可得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此時時間x正好是（1）的結果，那么此時PQ∥BC，由此可根據平行這個特殊條件，得出三角形APQ和ABC的面積比，然后再根據三角形PBQ的面積=三角形ABC的面積?三角形APQ的面積?三角形BQC的面積來得出三角形BPQ和三角形ABC的面積比．
（3）本題要分兩種情況進行討論．已知了∠A和∠C對應相等，那么就要分成AP和CQ對應成比例以及AP和BC對應成比例兩種情況來求x的值．
解答： 解：（1）由題意得，PQ平行于BC，則AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30?3x
∴ =
∴x=
（2）∵S△BCQ：S△ABC=1：3
∴CQ：AC=1：3，CQ=10cm
∴時間用了 秒，AP= cm，
∵由（1）知，此時PQ平行于BC
∴△APQ∽△ABC，相似比為 ，
∴S△APQ：S△ABC=4：9
∴四邊形PQCB與三角形ABC面積比為5：9，即S四邊形PQCB= S△ABC，
又∵S△BCQ：S△ABC=1：3，即S△BCQ= S△ABC，
∴S△BPQ=S四邊形PQCB?S△BCQ? S△ABC? S△ABC= S△ABC，
∴S△BPQ：S△ABC=2：9=
（3）假設兩三角形可以相似
情況1：當△APQ∽△CQB時，CQ：AP=BC：AQ，即有 = 解得x= ，
經檢驗，x= 是原分式方程的解．
此時AP= cm，
情況2：當△APQ∽△CBQ時，CQ：AQ=BC：AP，即有 = 解得x=5，
經檢驗，x=5是原分式方程的解．
此時AP=20cm．
綜上所述，AP= cm或AP=20cm．
點評： 本題主要考查了相似三角形的判定和性質，根據三角形相似得出線段比或面積比是解題的關鍵．
23．農產品的供銷具有一定的季節性，在某段時間內，某農資市場西紅柿的供給價格（批發價）和零售價格以及市場需要量隨時間的變化如表所示：
時間t/月 三月 四月 五月 六月 七月 八月
市場需要量Q/噸每天 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
供給價格y1/元每千克 5 4.8 4.6 4.4 4.2 4
零售價格y2/元每千克 7.2 6.9 6.6 6.3 6 5.7
求：（1）此階段市場需要量 （Q/噸）與時間（t/月）之間的函數關系式；
（2）每千克西紅柿的利潤（y/元）與時間（t/月）之間的函數關系式；（每千克利潤=零售價一供給價）
（ 3）商戶在幾月份經營西紅柿能獲的最大收益．
考點： 二次函數的應用．
分析： （1）利用待定系數法求一次函數解析式得出（Q/噸）與時間（t/月）之間的函數關系式；
（2）利用待定系數法求一次函數解析式得出y1，y2解析式，進而得出y=y2?y1求出即可；
（3）利用P=1000yQ進而求出函數最值即可．
解答： 解：（1）由表上數據可知，此階段市場需要（Q/噸）與時間（t/月）之間滿足一次函數關系，
可設其關系式為：Q= k1t+b1，不妨取兩組對應數據t=3時，Q=1；t=8時，Q=2得：
，
解得： ，
∴（Q/噸）與時間（t/月）之間的函數關系式為：Q= t+ ；
（2）設y1=kx+b，則 ，
解得：
故y1=?0.2t+5.6，
設y2=ax+c，則 ，
解得： ，
故y2=?0.3t+8.1，
∴y=y2?y1=?0.1t+2.5；
（3）設收益為P，則
P=1000yQ=1000（?0.1t+2.5）（0.2t+0.4）=?20t2+460t+1000，
∵此函數的對稱軸為t=11.5，
∴當t=8時，收益最大為1000（?0.02×64+0.46×8+1）=3400（元）．
點評： 此題主要考查了二次函數的應用以及待定系數法求一次函數解析式，根據題意得出P與t的函數關系式是解題關鍵．
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