2018-2019學(xué)年江西省萍 鄉(xiāng)市蘆溪縣九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
　
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x?2=0 B．x2?4x?1=0 C．x2?2x?3 D．xy+1=0
2．（3分）已知：  = ，則下列式子一定成立的是（　　）
A．3x=4y B．x= y C．4x=3y D．  xy=12
3．（3分）將方程x2+8x+9=0配方后，原方程可變形為（　　）
A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=?9 D．（x+8）2=7
4．（3分）從一副54張的撲克牌中任意抽一張，以下事件中可能性最大的是（　　）
A．抽到方塊8 B．抽到K牌 C．抽到梅花 D．抽到大王
5．（3分）已知 = = =k（a+b+c≠0），則k=（　　）
A．0 B．1 C．2 D．
6．（3分）如圖，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG= ，則△CEF的周長(zhǎng)為（　　）
 
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
　
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7．（3分）若a是方程x2?x?1=0的一個(gè)根，則代數(shù)式a2?a的值是　   　．
8．（3分）線(xiàn)段AB長(zhǎng)10cm，點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，且滿(mǎn)足 = ，那么AP的長(zhǎng)為　   　cm．
9．（3分）某校九年級(jí)共有1，2，3，4四個(gè)班，現(xiàn)從這 四個(gè)班中隨機(jī)抽取兩個(gè)班進(jìn)行一場(chǎng)籃球比賽，則恰好抽到1班和2班的概率是　   　．
10．（3分）如圖，直線(xiàn)AD∥BE∥CF，BC= AC，DE=4，那么EF的值是　   　．
 
11．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（a?5）x2?4x?1=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　   　．
12．（3分）如圖，菱形ABCD中，P為AB中點(diǎn)，∠A=60°，折疊菱形ABCD，使點(diǎn)C落在DP所在的直線(xiàn)上，得到經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的折痕DE，則∠DEC的大小為　   　°．
 
　
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13．（6分）解方程
（1）（4x?1）2?x2=0
（2）x2?3x?2=0．
14．（6分）已知：如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊一點(diǎn)，DE平分∠AD C，EF∥DC角AD邊于點(diǎn)F，連結(jié)BD．
（1）求證：四邊形EFCD是正方形；
（2）若BE=1，ED=2 ，求BD的長(zhǎng)．

15．（6分）某花圃用花盆培育某種花苗，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)每盆的盈利與每盆的株數(shù)構(gòu)成一定的關(guān)系．每盆植入3株時(shí)，平均單株盈利3元；以同樣的栽培條件，若每盆增加1株，平均單株盈利就減少0.5元．要使每盆的盈利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植多少株？
16．（6分）如圖，六個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成了一個(gè)大長(zhǎng)方形，AB是其中一個(gè)小長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)，請(qǐng)?jiān)诖箝L(zhǎng)方形中完成下列畫(huà)圖，要求：①僅用無(wú)刻度直尺，②保留必要的畫(huà)圖痕跡．
（1）在圖1中畫(huà)出一個(gè)45°角，使點(diǎn)A或點(diǎn)B是這個(gè)角的頂點(diǎn)，且AB為這個(gè)角的一邊；
（2）在圖2中畫(huà)出線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)．
 
17．（6分）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)A、C與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，C E=5，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若△CEF的周長(zhǎng)為18，求OF的長(zhǎng)．
 
　
四、解答題（本大題共4小題，共32分）
18．（8分）在一個(gè)不透明的口袋里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球（除顏色外其余都相同），其中紅球有1個(gè)，藍(lán)球有1個(gè)，現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)是紅球的概率為 ．
（1）求袋中黃球的個(gè)數(shù)．
（2）第一次摸出一個(gè)球（放回），第二次再摸一個(gè)球，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求兩次摸到都是紅球的概率．
（3）若規(guī)定每次摸到紅球得5分，每次摸到黃球得3分，每次摸到藍(lán)球得1分，小芳摸6次球（每次摸1個(gè)球，摸后放回）合計(jì)得20分，請(qǐng)直接寫(xiě)出小芳有哪幾種摸法？（不分球顏色的先后順序）
19．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處．
（1）求證：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求線(xiàn)段AD的長(zhǎng)度．
 
20．（8分）如圖所示，學(xué)校準(zhǔn)備在教學(xué)樓后面搭建一個(gè)簡(jiǎn)易矩形自行車(chē)車(chē)棚，一邊利用教學(xué)樓的后墻（可利用的墻長(zhǎng)為19m），另外三邊利用學(xué)校現(xiàn)有總長(zhǎng)38m的鐵欄圍成．
（1）若圍成的面積為180m2，試求出自行車(chē)車(chē)棚的長(zhǎng)和寬；
（2）能?chē)�成的面積為200m2自行車(chē)車(chē)棚嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
 
21．（8分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)為菱形ABCD對(duì)角線(xiàn)BD的三等分點(diǎn)．
（1）試判斷四邊形AECF的形狀，并加以證明；
（2）若菱形ABCD的周長(zhǎng)為52，BD為24，試求四邊形AECF的面積．
 
　
五、解答題（本大題共1小題，共10分）
22．（10分）如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作直線(xiàn)MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線(xiàn)于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線(xiàn)于點(diǎn)F．
（1）求證：OE=OF；
（2）若CE=8，CF=6，求OC的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說(shuō)明理由．
 
　
六、解答題（本大題共1小題，共12分）
23．（12分）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF．
（1）觀察猜想
如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)，
①BC與CF的位置關(guān)系為：　   　．
②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：　   　；（將結(jié)論直接寫(xiě)在橫線(xiàn)上）
（2）數(shù)學(xué)思考
如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明．
（3）拓展延伸
如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G，連接GE．若已知AB=2 ，CD= BC，請(qǐng)求出GE的長(zhǎng)．
 
　
 

2018-2019學(xué)年江西省萍鄉(xiāng)市蘆溪縣九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x?2=0 B．x2?4x?1=0 C．x2?2x?3 D．xy+1=0
【解答】解：A、本方程未知數(shù)x的最高次數(shù)是1；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、本方程符合一元二次方程的定義；故本選項(xiàng)正確；
C、x2?2x?3是代數(shù)式，不是等式；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、本方程中含有兩個(gè)未知數(shù)x和y；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
　
2．（3分）已知：  = ，則下列式子一定成立的是（　　）
A．3x=4y B．x= y C．4x=3y D．xy=12
【解答】解：∵ = ，
∴4x=3y．
故選：C．
　
3．（3分）將方程x2+8x+9=0配方后，原方程可變形為（　　）
A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=?9 D．（x+8）2=7
【解答】解：x2+8x=?9，
x2+8x+16=7，
（x+4）2=7．
故選：A．
　
4．（3分）從一副54張的撲克牌中任意抽一張，以下事件中可能性最大的是（　　）
A．抽到方塊8 B．抽到K牌 C．抽到梅花 D．抽到大王
【解答】解：A、抽到方塊8的可能性是 ；
B、抽到K牌的可能行是 = ；
C、抽到梅花的可能行是 ；
D、抽到大王的可能性是 ；
則可能性最大的是抽到梅花；
故選：C．
　
5．（3分）已知 = = =k（a+b+c≠0），則k=（　　）
A．0 B．1 C．2 D．
【解答】解；由 = = =k，得
k= = = ，
故選：D．
　
6．（3分）如圖，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG= ，則△CEF的周長(zhǎng)為（　　）
 
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
【解答】解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，
∴AB∥DC，∠BAF=∠DAF，
∴∠BAF=∠F，
∴∠DAF=∠F，
∴AD=FD，
∴△ADF是等腰三角形，
同理△ABE是等腰三角形，
AD=DF=9；
∵AB=BE=6，
∴CF=3；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG= ，可得：AG=2，
又BG⊥AE，
∴AE=2AG=4，
∴△ABE的周長(zhǎng)等于16，
又∵▱ABCD
∴△CEF∽△BEA，相似比為1：2，
∴△CEF的周長(zhǎng)為8．
故選：A．
　
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7．（3分） 若a是方程x2?x?1=0的一個(gè)根，則代數(shù)式a2?a的值是　1　．
【解答】解：把x=a代入x2?x?1=0得a2?a?1=0，
所以a2?a=1．
故答案為1．
　
8．（3分）線(xiàn)段AB長(zhǎng)10cm，點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，且滿(mǎn)足 = ，那么AP的長(zhǎng)為　5 ?5　cm．
【解答】解：設(shè)AP=x，則BP=10?x，
∵ = ，
∴ = ，
∴x1=5 ?5，x2=?5 ?5（不合題意，舍去），
∴AP的長(zhǎng)為（5 ?5）cm．
故答案為：5 ?5．
　
9．（3分）某校九年級(jí)共有1，2，3，4四個(gè)班，現(xiàn)從這四個(gè)班中隨機(jī)抽取兩個(gè)班進(jìn)行一場(chǎng)籃球比賽，則恰好抽到1班和2班的概率是　 　．
【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖為：
 
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰好抽到1班和2班的結(jié)果數(shù)為2，
所以恰好抽到1班和2班的概率= = ．
故答案為： ．
　
10．（3分）如圖，直線(xiàn)AD∥BE∥CF，BC= AC，DE=4，那么EF的值是　2　．
 
【解答】解：∵BC= AC，
∴ = ，
∵AD∥BE∥CF，
∴ = ，
∵DE=4，
∴ =2，
∴EF=2．
故答案為：2．
　
11．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（a?5）x2?4x?1=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　a≥1且a≠5　．
【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程有實(shí)根，
所以△=b2?4ac=16+4（a?5）≥0，
解之得a≥1．
∵a?5≠0
∴a≠5
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥1且a≠5
故答案為a≥1且a≠5．
　
12．（3分）如圖，菱形ABCD中，P為AB中點(diǎn)，∠A=60°，折疊菱形ABCD，使點(diǎn)C落在DP所在的直線(xiàn)上，得到經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的折痕DE，則∠DEC的大小為　75　°．
 
【解答】解：連接BD，
∵四邊形ABCD為菱形，∠A=60°，
∴△ABD為等邊三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P為AB的中點(diǎn)，
∴DP為∠ADB的平分線(xiàn)，即∠ADP=∠BDP=30°，
∴∠PDC=90°，
∴由折疊的性質(zhì)得到∠CDE=∠PDE=45°，
在△DEC中，∠DEC=180°?（∠CDE+∠C）=75°．
故答案為：75．
 
　
三、解答題（本大 題共5小題，每小題6分，共30分）
13．（6分）解方程
（1）（4x?1）2?x2=0
（2）x2?3x?2=0．
【解答】解：（1）（4x?1）2?x2=0，
（4x?1+x）（4x?1?x）=0，
（5x?1）（3x?1）=0，
解得x1= ，x2=? ；

（2）x2?3x?2=0，
b2?4ac=（?3）2?4×1×（?2）=17，
x= ，
x1= ，x2= ．
　
14．（6分）已知：如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊一點(diǎn)，DE平分∠ADC，EF∥DC角AD邊于點(diǎn)F，連結(jié)BD．
（1）求證：四邊形EFCD是正方形；
（2）若BE=1，E D=2 ，求BD的長(zhǎng)．
 
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=∠C=90°，
∵EF∥DC，
∴四邊形FECD為平行四邊形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠CDE=∠DEC，
∴CD=CE，
∴四邊形FECD是菱形，
又∵∠C=90°，
∴平行四邊形FECD是正方形；
（2）∵四邊形FECD是正方形，
∴∠CDE=45°，
∵ ，
∴CE=CD=ED•sin45°=2 × =2，
∴BC=BE+EC=1+2=3，
∴BD2=BC2+CD2=32+22=13，
∴BD= ．
　
15．（6分）某花圃用花盆培育某種花苗，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)每盆的盈利與每盆的株數(shù)構(gòu)成一定的關(guān)系．每盆植入3株時(shí)，平均單株盈利3元；以同樣的栽培條件，若每盆增加1株，平均單株盈利就減少0.5元．要使每盆的盈利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植多少株？
【解答】解：設(shè)每盆花苗增加x株，則每盆花苗有（x+3）株，
平均單株盈利為：（3?0.5x）元，
由題意得：（x+3）（3?0.5x）=10．
化簡(jiǎn)，整理，的x2?3x+2=0．
解這個(gè)方程，得x1=1，x2=2，
則3+1=4，2+3=5，
答：每盆應(yīng)植4株或者5株．
　
16．（6分）如圖，六個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成了一個(gè)大長(zhǎng)方形，AB是其 中一個(gè)小長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)，請(qǐng)?jiān)诖箝L(zhǎng)方形中完成下列畫(huà)圖，要求：①僅用無(wú)刻度直尺，②保留必要的畫(huà)圖痕跡．
（1）在圖1中畫(huà)出一個(gè)45°角，使點(diǎn)A或點(diǎn)B是這個(gè)角的頂點(diǎn)，且AB為這個(gè)角的一邊；
（2）在圖2中畫(huà)出線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)．
 
【解答】解：（1）如圖所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)）．
 
（2）線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)如圖所示，
 
點(diǎn)M是長(zhǎng)方形AFBE是對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，點(diǎn)N是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，直線(xiàn)MN就是所求的線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)．
　
17．（6分）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)A、C與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn) ，CE=5，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若△CEF的周長(zhǎng)為18，求OF的長(zhǎng)．
 
【解答】解：∵CE=5，△CEF的周長(zhǎng)為18，
∴CF+EF=18?5=13．
∵F為DE的中點(diǎn)，
∴DF=EF．
∵∠BCD=90°，
∴CF= DE，
∴EF=CF= DE=6.5，
∴DE=2EF=13，
∴CD= = =12．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD=12，O為BD的中點(diǎn)，
∴OF是△BDE的中位線(xiàn)，
∴OF= （BC?CE）= （12?5）= ．
 
　
四、解答題（本大題共4小題，共32分）
18．（8分）在一個(gè)不透明的口袋里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏 色的球（除顏色外其余都相同），其中紅球有1個(gè)，藍(lán)球有1個(gè)，現(xiàn)從中任意 摸出一個(gè)是紅球的概率為 ．
（1）求袋中黃球的個(gè)數(shù)．
（2）第一次摸出一個(gè)球（放回），第二次再摸一個(gè)球，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求兩次摸到都是紅球的概率．
（3）若規(guī)定每次摸到紅球得5分， 每次摸到黃球得3分，每次摸到藍(lán)球得1分，小芳摸6次球（每次摸1個(gè)球，摸后放回）合計(jì)得20分，請(qǐng)直接寫(xiě)出小芳有哪幾種摸法？（不分球顏色的先后順序）
【解答】解：（1）設(shè)袋中黃球的個(gè)數(shù)為x，根據(jù)題意得 = ，
解得x=1，
即袋中有1個(gè)黃球；

（2）畫(huà)樹(shù)狀圖為：
 ，
共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸到都是紅球的占1種，
所有兩次摸到都是紅球的概率= ；

（3）設(shè)摸到紅球、黃球、藍(lán)球的次數(shù)分別為x、y、z，
根據(jù)題意得 ，
由①變形得z=6?x?y③，
把③代入②得5x+3y+6?x?y=20，
整理得2x+y=7，
當(dāng)x=0，y=7（舍去）；當(dāng)x=1時(shí)，y=5，z=0；當(dāng)x=2，y=3，此時(shí)z=1；當(dāng)x=3，y=1，此時(shí)z=2，
所以小芳的摸法有：1次摸到紅球、5次摸到黃球；2次摸到紅球、3次摸到黃球，1次摸到藍(lán)球；3次摸到紅球、1次摸到黃球，2次摸到藍(lán)球．
　
19．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處．
（1）求證：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求線(xiàn)段AD的長(zhǎng)度．
 
【解答】證明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折疊，
∴∠C=∠AED=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）由勾股定理得，AB=10．
由折疊的性質(zhì)知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．
∴BE=AB?AE=10?6=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE2+BE2=BD2，
即CD2+42=（8?CD）2，
解得：CD=3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，
即32+62=AD2，
解得：AD=3 ．
　
20．（8分）如圖所示，學(xué)校準(zhǔn)備在教學(xué)樓后面搭建一個(gè)簡(jiǎn)易矩形自行車(chē)車(chē)棚，一邊利用教學(xué)樓的后墻（可利用的墻長(zhǎng)為19m），另外三邊利用學(xué)校現(xiàn)有總長(zhǎng)38m的鐵欄圍成．
（1）若圍成的面積為180m2，試求出自行車(chē)車(chē)棚的長(zhǎng)和寬；
（2）能?chē)�成的面積為200m2自行車(chē)車(chē)棚嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
 
【解答】解：（1）設(shè)AB=x，則BC=38?2x；
根據(jù)題意列方程的，
x（38?2x）=180，
解得x1=10，x2=9；
當(dāng)x=10，38?2x=18（米），
當(dāng)x=9，38?2x=20（米），而墻長(zhǎng)19m，不合題意舍去，
答：若圍成的面積為180m2，自行車(chē)車(chē)棚的長(zhǎng)和寬分別為10米，18米；

（2）根據(jù)題意列方程的，
x（38?2x）=200，
整理得出：x2?19x+100=0；
△=b2?4ac=361?400=?39＜0，
故此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
答：因此如果墻長(zhǎng)19m，滿(mǎn)足條件的花園面積不能達(dá)到200m2．
　
21．（8分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)為菱形ABCD對(duì)角線(xiàn)BD的三等分點(diǎn)．
（1）試判斷四邊形AECF的形狀，并加以證明；
（2）若菱形ABCD的周長(zhǎng)為52，BD為24，試求四邊形AECF的面積．
 
【解答】解：（1）四邊形ABCD為菱形．
理由如下：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，
∵四邊形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，
又∵點(diǎn)E、F為線(xiàn)段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
∴BE=FD，
∴BO=OD，
∵AO=OC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD為菱形；

（2） ∵四邊形ABCD為菱形，且周長(zhǎng)為52，
∴AB=BC=13，
∵BD=24，
∴EF=8，OB= BD=12，
由勾股定理得，AO= =5，
∴AC=2AO=2×5=10，
∴S四邊形AECF= EF•AC= ×8×10=40．
 
　
五、解答題（本大題共1小題，共10分）
22．（10分）如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作直線(xiàn)MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線(xiàn)于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線(xiàn)于點(diǎn)F．
（1）求證：OE=OF；
（2）若CE=8，CF=6，求OC的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說(shuō)明理由．
 
【解答】：（1）證明：∵M(jìn)N交∠ACB的平分線(xiàn)于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線(xiàn)于點(diǎn)F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，
∴OE=OF；

（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=8，CF=6，
∴EF= =10，
∴OC= EF=5；

（3）答：當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．
證明：當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．
 
　
六、解答題（本大題共1小題，共12分）
23．（12分）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF．
（1）觀察猜想
如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)，
①BC與CF的位置關(guān)系為：　垂直　．
②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：　BC=CD+CF　；（將結(jié)論直接寫(xiě)在橫線(xiàn)上）
（2）數(shù)學(xué)思考
如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明．
（3）拓展延伸
如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G，連接GE．若已知AB=2 ，CD= BC，請(qǐng)求出GE的長(zhǎng)．
 
【解答】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB與△FAC中， ，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；
故答案為：垂直；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
故答案為：BC=CF+CD；

（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB與△FAC中， ，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴∠ABD=180°?45°=135°，
∴∠BCF=∠ACF?∠ACB=135°?45°=90°，
∴CF⊥BC．
∵CD=DB+BC，DB=CF，
∴CD=CF+BC．

（3）解：過(guò)A作AH⊥BC于H，過(guò)E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC= AB=4，AH= BC=2，
∴CD= BC=1，CH= BC=2，
∴DH=3，
由（2）證得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四邊形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH與△DEM中， ，
∴△ADH≌△DEM，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG= = ．