（2013•畢節地區）將二次函數y=x2的圖象向右 平移一個單位長度，再向上平移3個單位長度所得的圖象解析式為（　�。�
　A．y=（x?1）2+3B．y=（x+1）2+3C．y=（x?1）2?3D．y=（x+1）2?3

考點：二次函數圖象與幾何變換．
分析：由二次函數y=x2的圖象向右平移一個單位長度，再向上平移3個單位長度，根據平移的性質，即可求得所得圖象的函數解析式．注意二次函數平移的規律為：左加右減，上加下減．
解答：解：∵二次函數y=x2的圖象向右平移一個單位長度，再向上平移3個單位長度，
∴所得圖象的函數解析式是：y=（x?1）2+3．
故選A．
點評：本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知“上加下減、左加右減”的原則是解答此題的關鍵．
（2013•畢節地區）如圖，拋物線y=ax2+b與x軸交于點A、B，且A點的坐標為（1，0），與y軸交于點C（0，1）．
（1）求拋物線的解析式，并求出點B坐標；
（2）過點B作BD∥CA交拋物線于點D，連接BC、CA、AD，求四邊形ABCD的周長；（結果保留根號）
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在點P，過點P作PE垂直于x軸，垂足為點E，使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似？若存在請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

考點：二次函數綜合題．
分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式，點B坐標可由對稱性質得到，或令y=0，由解析式得到；
（2）關鍵是求出點D的坐標，然后利用勾股定理分別求出四邊形ABCD四個邊的長度；
（3）本問為存在型問題．可以先假設存在，然后按照題意條件求點P的坐標，如果能求出則點P存在，否則不存在．注意三角形相似有兩種情形，需要分類討論．
解答：解：（1）∵點A（1，0）和點C（0，1）在拋物線y=ax2+b上，
∴ ，解得：a=?1，b=1，
∴拋物線的解析式為：y=?x2+1，
拋物線的對稱軸為y軸，則點B與點A（1，0）關于y軸對稱，∴B（?1，0）．
（2）設過點A（1，0），C（0，1）的直線解析式為y=kx+b，可得：
，解得k=?1，b=1，∴y=?x+1．
∵BD∥CA，∴可設直線BD的解析式為y=?x+n，
∵點B（?1，0）在直線BD上，∴0=1+n，得n=?1，
∴直線BD的解析式為：y=?x?1．
將y=?x?1代入拋物線的解析式，得：?x?1=?x2+1，解得：x1=2，x2=?1，
∵B點橫坐標為?1，則D點橫坐標為2，
D點縱坐標為y=?2?1=?3，∴D點坐標為（2，?3）．
如答圖①所示，過點D作DN⊥x軸于點N，則DN=3，AN=1，BN=3，
在Rt△BDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD= ；
在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD= ；
又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC=BC= ；
∴四邊形ABCD的周長為：AC+BC+BD+AD= + + + = + ．

（3）假設存在這樣的點P，則△BPE與△CBD相似有兩種情形：
（I）若△BPE∽△BDC，如答圖②所示，
則有 ，即 ，∴PE=3BE．
設OE=（＞0），則E（?，0），BE=1?，PE=3BE=3?3，
∴點P的坐標為（?，3?3）．
∵點P在拋物線y=?x2+1上，
∴3?3=?（?）2 +1，解得=1或=2，
當=1時，點E與點B重合，故舍去；當=2時，點E在OB左側，點P在x軸下方，不符合題意，故舍去．
因此，此種情況不存在；
（II）若△EBP∽△BDC，如答圖③所示，
則有 ，即 ，∴BE=3PE．
設OE=（＞0），則E（，0），BE=1+，PE=BE=（1+）=+，
∴點P的坐標為（， +）．
∵點P在拋物線y=?x2+1上，
∴+=?（）2+1，解得=?1或=，
∵＞0，故=1舍去，∴=，
點P的縱坐標為： +=+×=，
∴點P的坐標為（，）．
綜上所述，存在點P，使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似，點P的坐標為（，）．

（2013•昆明）如圖，矩形OABC在平面直角坐標系xoy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=4,OC=3，若拋物線的頂點在BC邊上，且拋物線經過O、A兩點，直線AC交拋物線于點D。
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）若點在拋物線上，點N在x軸上，是否存在以點A、D、、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由。

（2013•邵陽）如圖所示，已知拋物線y=?2x2?4x的圖象E，將其向右平移兩個單位后得到圖象F．
（1）求圖象F所表示的拋物線的解析式：
（2）設拋物線F和x軸相交于點O、點B（點B位于點O的右側），頂點為點C，點A位于y軸負半軸上，且到x軸的距離等于點C到x軸的距離的2倍，求AB所在直線的解析式．

考點：二次函數圖象與幾何變換；待定系數法求一次函數解析式；二次函數的性質．
分析：（1）根據二次函數圖象左加右減，上加下減的平移規律進行解答；
（2）先根據拋物線F的解析式求出頂點C，和x軸交點B的坐標，再設A點坐標為（0，y），根據點A到x軸的距離等于點C到x軸的距離的2倍，列出關于y的方程，解方程求出y的值，然后利用待定系數法求出AB所在直線的解析式．
解答：解：（1）∵拋物線y=?2x2?4x=?2（x+1）2+2的圖象E，將其向右平移兩個單位后得到圖象F，
∴圖象F所表示的拋物線的解析式為y=?2（x+1?2）2+2，即y=?2（x?1）2+2；

（2）∵y=?2（x?1）2+2，
∴頂點C的坐標為（1，2）．
當y=0時，?2（x?1）2+2=0，
解得x=0或2，
∴點B的坐標為（2，0）．
設A點坐標為（0，y），則y＜0．
∵點A到x軸的距離等于點C到x軸的距離的2倍，
∴?y=2×2，解得y=?4，
∴A點坐標為（0，?4）．
設AB所在直線的解析式為y=kx+b，
由題意，得 ，
解得 ，
∴AB所在直線的解析式為y=2x?4．
點評：本題考查了二次函數圖象與幾何變換，二次函數的性質，運用待定系數法求函數的解析式，難度適中，求出圖象F所表示的拋物線的解析式是解題的關鍵．
�。�2013•柳州）已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點（1，0），（5，0），（3，?4）．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）當y＞?3，寫出x的取值范圍；
（3）A、B為直線y=?2x?6上兩動點，且距離為2，點C為二次函數圖象上的動點，當點C運動到何處時△ABC的面積最��？求出此時點C的坐標及△ABC面積的最小值．

考點：二次函數綜合題．
分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）求出y=3時x的值，結合函數圖象，求出y＞?3時x的取值范圍；
（3）△ABC的底邊AB長度為2，是定值，因此當AB邊上的高最小時，△ABC的面積最�。�如解答圖所示，由點C向直線y=?2x?6作垂線，利用三角函數（或相似三角形）求出高CE的表達式，根據表達式求出CE的最小值，這樣問題得解．
解答：解：（1）∵點（1，0），（5，0），（3，?4）在拋物線上，
∴ ，
解得 ．
∴二次函數的解析式為：y=x2?6x+5．

（2）在y=x2?6x+5中，令y=?3，即x2?6x+5=?3，
整理得：x2?6x+8=0，解得x1=2，x2=4．
結合函數圖象，可知當y＞?3時，x的取值范圍是：x＜2或x＞4．

（3）設直線y=?2x?6與x軸，y軸分別交于點，點N，
令x=0，得y=?6；令y=0，得x=?2．
∴（?3，0），N（0，?6），
∴O=3，ON=6，由勾股定理得：N=3 ，
∴tan∠NO= = ，sin∠NO= = ．
設點C坐標為（x，y），則y=x2?6x+5．
過點C作CD⊥y軸于點D，則CD=x，OD=?y，DN=6+y．
過點C作直線y=?2x?6的垂線，垂足為E，交y軸于點F，
在Rt△CDF中，DF=CD•tan∠NO= x，CF= = = = x．
∴FN=DN?DF=6+y? x．
在Rt△EFN中，EF=FN•sin∠NO= （6+y? x）．
∴CE=CF+EF= x+ （6+y? x），
∵C（x，y）在拋物線上，∴y=x2?6x+5，代入上式整理得：
CE= （x2?4x+11）= （x?2）2+ ，
∴當x=2時，CE有最小值，最小值為 ．
當x=2時，y=x2?6x+5=?3，∴C（2，?3）．
△ABC的最小面積為： AB•CE= ×2× = ．
∴當C點坐標為（2，?3）時，△ABC的面積最小，面積的最小值為 ．

點評：本題是二次函數綜合題型，考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、一次函數的圖象與性質、解直角三角形（或相似三角形）等知識點．難點在于第（3）問，確定高CE的表達式是解題的關鍵所在；本問的另一解法是：直線y=?2x+k與拋物線y=x2?6x+5相切時，切點即為所求的點C，同學們可以嘗試此思路，以求觸類旁通、舉一反三．
（2013•銅仁）如圖，已知直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點，拋物線y=x2+bx+c經過
A、B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點(與A點不重合)．
(1)求拋物線的解析式：
(2)求△ABC的面積；
(3)在拋物線的對稱軸上，是否存在點，使△AB為等腰三角形?若不存在，請說明
理由：若存在，求出點的坐標.

解：（1）求出A（1，0），B（0，-3）……………………1分
把A、B兩點的坐標分別代入y=x2+bx+c得

解得：b=2,c=-3………………………………………………3分
∴拋物線為：y=x2+2x-3……………………………………4分
（2）令y=0得：0=x2+2x-3
解之得：x1=1,x2=-3
所以C（-3，0），AC=4…………………………6分
S△ABC=
（3）拋物線的對稱軸為：x=-1，假設存在（-1，）滿足題意
討論：
①當A=AB時


∴1（-1， ），2（-1，- ）………………………… …………10分
②當B=BA時

∴3=0，4=-6……………………………………10分
∴3（-1，0），4（-1，-6）……………………………………12分
③當B=A時

=-1
∴5（-1，-1）……………………………………13分
答：共存在五個點1（-1， ），2（-1，- ），3（-1，0），4（-1，-6），5（-1，-1），
使△AB為等腰三角形……………………………………14分

（2013•臨沂）如圖，拋物線經過A（?1，0），B（5，0），C（0， ）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標；
（3）點為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

考點：二次函數綜合題．
專題：探究型．
分析：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（?1，0），B（5，0），C（0， ）三點代入求出a、b、c的值即可；
（2）因為點A關于對稱軸對稱的點A的坐標為（5，0），連接BC交對稱軸直線于點P，求出P點坐標即可；
（3）分點N在x軸下方或上方兩種情況進行討論．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），
∵A（?1，0），B（5，0），C（0， ）三點在拋物線上，
∴ ，
解得 ．
∴拋物線的解析式為：y= x2?2x? ；

（2）∵拋物線的解析式為：y= x2?2x? ，
∴其對稱軸為直線x=? =? =2，
連接BC，如圖1所示，
∵B（5，0），C（0，? ），
∴設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴ ，
解得 ，
∴直線BC的解析式為y= x? ，
當x=2時，y=1? =? ，
∴P（2，? ）；

（3）存在．
如圖2所示，

①當點N在x軸下方時，
∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，? ），
∴N1（4，? ）；
②當點N在x軸上方時，
如圖，過點N作ND⊥x軸于點D，
在△AND與△CO中，

∴△AND≌△CO（ASA），
∴ND=OC= ，即N點的縱坐標為 ．
∴ x2?2x? = ，
解得x=2+ 或x=2? ，
∴N2（2+ ， ），N3（2? ， ）．
綜上所述，符合條件的點N的坐標為（4，? ），（2+ ， ）或（2? ， ）．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數與二次函數的解析式、平行四邊的判定與性質、全等三角形等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論．
（2013•茂名）下列二次函 數的圖象，不能通過函數 的圖象平移得到的是（ ）
A、 B、 C、 D、

（2013•茂名）如圖，拋物線 與 軸交于點 A和點B，與 軸交于點C，已知點B的坐標為（3，0）.
（1）求 的值和拋物線的頂點坐標；
（2）分別連接AC、BC.在 軸下方的拋物線上求一點，使 與 的面積相等 ；
（3）設N是拋物線對稱軸上的一個動點， .
探究：是否 存在一點N，使 的值最大？若存在，請直接寫出點N的坐標和 的最大值；若不存在，請簡單說明理由.

（2013•大興安嶺）如圖，已知二次函數y = 過點A(1,0) C(0,－3)
（1）求此二次函數的解析式；
（2）在拋物線上存在一點P使△ABP的面積為10，請直接寫出點P的坐標.

（2013•紅河）如圖，拋物線 與 軸交于A、B兩點，與 軸交于C點，點P是拋物線上的一個動點且在第一象 限，過點P作x軸的垂線，垂足為D，交直線BC于點E．
（1）求點A、B、C的坐標和直線BC的解析式；
（2）求△ODE面積的最大值及相應的點E的坐標；
（3）是否存在以點P、O、D為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
解：（1）在 中，當 =0時，即 ，解得 ．
當 時，即 ，解得 ．
所以點 A、B、C的坐標依次是A（-2，0）、
B（2，0）、C（0，4）．
設直線BC的解析式為 （ ），
則 ，解得 ．
所以直線BC的解析式為 ． ……………………… ………3分
（2）∵點E在直線BC上，∴設點E的坐標為 ，則△ 的面積S可表示為： ．
∴當 時，△ODE的面積有最大值1．
此時， ，∴點E的坐標為（1，2）． …………………5分
（3）存在以點P、O、D為頂點的三角形與△OAC相似，理由如下：
設點P的坐標為 , ．
因為△OAC與△OPD都是直角三角形，分兩種情況：
①當△ＰDO∽△COA時， ，
，
解得 ， （不符合題意，舍去）．
當 時， ．
此時，點P的坐標為 ．
②當△PDO∽△AOC時， ，
，
解得 ， （不符合題意，舍去）．
當 時， = ．
此時，點P的坐標為 ．
綜上可得，滿足條件的點P有兩個：