4．6探索三角形相似的條件⑷
一、目標導航
兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似及應用．
二、基礎過關
1．如圖，D，E分別交△ABC的邊AB于D，AC于E，且AE?AC=AD?AB，則△ADE與△ABC的關系是 ．
2．□ABCD中，AB=3，AD=5，E為AB中點，在BC上取一點F，使△DCF∽△DAE，則BF= ．
3．在△ABC中，D，E分別在AB，AC上，AD:AB=AE:AC=2:3，BC=5，則DE= ．
4．如圖，∠A=∠DBC，AB=3，AC=5，BC=4，DB=4．8，則CD=
5．△ABC中，AD⊥BC與D，且 ，則△___∽△___;可以判定△ABC為_______三角形．
三．能力提升
6．如圖，要使△ACD∽△BCA，需要補充的條件是( )
A． B． C．CD =AD?DB D．AC =AD?AB
7．如圖，P是正方形ABCD邊BC上一點，且BP=3PC，Q是DC的中點，則AQ:QP=( )
A．2:1 B．3:1 C．3:2 D．5:2
8．能說明△ABC和△A B C 相似的條件是( )
A．AB:A B =AC:A C B．AB:A C =BC:A C 且∠A=∠C
C．AB:A B =BC:A C 且∠B=∠A D．AB:A B =AC:A C 且∠B=∠B
9．在等邊△ABC中，D，E分別在AC，AB邊上，且 ，AE=BE，則有( )
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
10．如圖，∠AOD=90 ，OA=OB=BC=CD，那么以下結論成立的是( )
A．△OAB∽△OCA B．△OAB∽△ODA
C．△BAC∽△BDA D．以上結論都不對．
11．一直線交△ABC的邊AB于點D，交AC于點E，若AB=11，BD=6，AC=4.4，CE=2.4，試猜測DE和BC的關系;并說明理由．
12．如圖，已知 ，GE//BC．求證:EF//CD．
13．已知：如圖，D為△ABC內一點，E為△ABC外一點，且∠1=∠2，∠3=∠4
求證：∠ACB=∠DEB．
14．如圖，在△ABC中，AD是角平分線，E是AD上的一點，且 ．
求證:CE = CD．
15．如圖，P為正方形ABCD的邊BC上的點，BP=3PC，Q是CD中點．
⑴求證:△ADQ∽△QCP；⑵在現在的條件下，請再寫出一個正確結論．
16．如圖，點C、D在線段AB上，且ΔPCD是等邊三角形．
⑴當AC，CD，DB滿足怎樣的關系時，ΔACP∽ΔPDB；
⑵當ΔPDB∽ΔACP時，試求∠APB的度數．
17．如圖，正方形ABCD的邊長為2，AE=EB，MN=1，線段MN的兩端在BC、CD上，若△AED與以M、N、C為頂點的三角形相似，求CM的長．
18．如圖，已知點E是四邊形ABCD的對角線BD上一點，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．
⑴求證:BE?AD=CD?AE；⑵根據圖形特點，猜想BCDE 可能等于哪兩條線段的比（只需寫出圖形中已有線段的一組比即可），并證明你的結論．
四、聚沙成塔
19．在△ABC中， ∠B=25 ，AD是BC邊上的高，并且AD =BD? DC，則∠BCA的度數為 ．
20．已知：如圖，矩形ABCD中AB∶BC=5∶6，點E在BC上，點F在CD上，EC= BC，FC= CD，FG⊥AE與G．求證：AG=4GE．
21．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，M為DE的中點，AM與BE相交于N，AD與BE相交于F．求證:⑴DECE =ADCD ；⑵△BCE∽△ADM；⑶AM與BE互相垂直．
22．如圖，△ABC中，∠C=90 ，BC=8cm，AC:AB=3:5，點P從點B出發沿BC向點C以2厘米/秒的速度移動，點Q從點C出發沿CA向點A以1厘米/秒的速度移動，如果P，Q分別從B，C同時出發，問第幾秒時△CPQ與△CBA相似?
23．如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，EF⊥EC交AB于F，連結FC(AB＞AE)．
⑴△AEF與△EFC是否相似?若相似，證明你的結論;若不相似，說明理由有．
⑵設 ，是否存在這樣的 值，使得△AEF與△BCF相似，若存在，證明你的結論并求出 值;若不存在，說明理由．
4．6探索三角形相似的條件⑷
1．相似；2．4.1；3． ；4．4；5．ABD，CBA，直角；6．D；7．A；8．C；9．B；10．C；11．DE//BC；12．證△AEF∽△ACD，得∠AFE=∠D；
13．易得△ABD∽△CBE， ∠ACB=∠DEB．
14．證△ABD∽△ACE得∠ADB=∠AEC即可．
15．略．
16． ⑴CD =AC?BD．⑵∠APB=120 ．
17．分兩種情況討論: ⑴CM= ，⑵CM= ．
18． ⑴證明△ACD∽△ABE， ⑵ 或 ．由⑴得: ，△ABC∽△AED問題即可得證．
19．65 或115 ．
20．易得 ，△CEF∽△DAF，得 與∠AFE=90 ．即可得到．
21． ⑴證明△CDE∽△ADE，⑵由⑴得 ，即 ，又∠ADM=∠C．⑶由⑵得∠DBF=∠DAM，所以AM⊥BE．
22．易得:AC=6，AB=10．分兩種情況討論: 設時間為t秒．⑴當 時，
，解得t= ．⑵同理得 ，解得t= ．
23． ⑴相似，提示可延長FE，CD交于點G． ⑵分兩種情況:①∠BCF=∠AFE時，產生矛盾，不成立．②當∠BCF=∠EFC時，存在，此時k= ．由條件可得∠BCF=∠ECF=∠DCE=30 ，以下略．


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