2014-2015學年陜西省安康市旬陽縣桐木中學八年級（上）月考數學試卷（12月份）
一、選擇題（共10小題，每小題3分，計30分．每小題只有一個選項是符合題意的）
1． 下列運算正確的是（ ）
A． a3•a2=a6 B． y3÷y=y3 C． （m2n）3=m6n3 D． （x2）3=x5
2． 剪紙是中華傳統文化中的一塊瑰寶，下列剪紙圖案中不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
3． 下列式子的變形，不是因式分解的有（ ）
①（x+1）（x?2）=x2?x?2； ②x2?2x+1=x（x?2）+1；
③x2?9y2=（x+3y）（x?3y）； ④x2y?2xy+y=（x2?2x+1）y．
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
4． 光年是一種長度單位，它表示光在一年中所通過的距離，已知光每秒的速度為3×105千米，一年以3×107秒計算，一光年約為（ ）
A． 3×1012千米 B． 9×1015千米 C． 9×1035千米 D． 9×1012千米
5． 如圖，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，則∠BDC的度數是（ ）
A． 85° B． 80° C． 75° D． 70°
6． 如果單項式?x2a?3y2與x3ya+2b?7的和仍為單項式，那么它們的乘積為（ ）
A． ?x6y4 B． ?x3y2 C． ?x6y4 D． x6y4
7． 若A=10a2+3b2?5a+5，B=a2+3b2?8a+5，則A?B的值與?9a3b2的公因式為（ ）
A． a B． ?3 C． 9a3b2 D． 3a
8． 對于任意整數n，多項式（n+7）2?（n?3）2的值都能（ ）
A． 被20整除 B． 被7整除 C． 被21整除 D． 被n+4整除
9． 如圖，要設計一幅長為3xcm，寬為2ycm的長方形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫彩條的寬度均為acm，豎彩條的寬度均為bcm，則空白區域的面積是（ ）
A． （6xy?6xa?4by+4ab）cm2 B． （6xy+6xa+4by?4ab）cm2
C． （6xy?6xb?4ay+4ab）cm2 D． （6xy+6xb+4ay?4ab
10． 計算（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）的結果為（ ）
A． 235+2 B． 264+1 C． 264?1 D． 232?1
二、填空題（共8小題，每小題3分，計24分）
11． 若□×6xy=3x3y2，則□內應填的單項式是 ．
12． 計算（15y3?9y2?3y）÷（?3y）= ．
13． 已知2a+3b+4=0，則?4a?6b的值為 ．
14． 若4x2+mx+9是一個完全平方式，則實數m的值是 ．
15． 如果（x2?mx+3）（3x?2）的展開式中不含x2項，則m的值是 ．
16． 一個等腰三角形的周長為16，一邊長是6，則它的腰長為 ．
17． 若3x=m，9y=n，x，y為正整數，則32x+6y等于 ．
18． 在日常生活中如取款、上網等都需要密碼．有一種用“因式分解”法產生的密碼，方便記憶．原理是：如對于多項式x4?y4，因式分解的結果是（x?y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9時，則各個因式的值是：（x?y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作為一個六位數的密碼．對于多項式4x3?xy2，取x=10，y=10時，用上述方法產生的密碼是： （寫出一個即可）．
三、解答題（共5小題，計46分．解答應寫出過程）
19． 把下列各式分解因式：
（1）x2?（y+2）2；
（2）?20x3y+x4+100x2y2．
20． 如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，在邊AB上取一點D，使得DB=BC，過點D作EF⊥AC，分別交AC于點E，交CB的延長線于點F，求證：FC=AB+DB．
21． 先化簡，再求值：
（1）b（a+b）+（a+2b）（2a?b）?4ab，其中a=?3，b=4；
（2）[（x+3y）（x?3y）+（x+3y）2]÷（?4x），其中x=1，y=．
22． 已知“兩點之間，線段最短”，我們經常利用它來解決兩線段和的最小值問題．
（1）實踐運用
唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題??將軍飲馬問題：如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河邊飲馬后，再到B點宿營，請問怎樣走才能使總的路程最短？畫出最短路徑并說明理由．
（2）拓展延伸
如圖2，點P，Q是△ABC的邊AB、AC上的兩個定點，請同學們在BC上找一點R，使得△PQR的周長最短（要求：尺規作圖，不寫作圖過程保留作圖痕跡）．
23． 我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積時，可以得到一個數學等式，例如由圖1可以得到（a+b）2=a2+2ab+b2．請解答下列問題：
（1）直接寫出圖2中所表示的數學等式 ；
（2）寫出圖3中所表示的數學等式，并利用所得到的結論，解決下面的問題：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）圖4中給出了若干個邊長為a和邊長為b的小正方形紙片，若干個長為a、寬為b的長方形紙片，請先寫出數學等式：（2a+b）（a+2b）= ，再利用所給的紙片拼出一個幾何圖形，驗證該公式．
2014-2015學年陜西省安康市旬陽縣桐木中學八年級（上）月考數學試卷（12月份）
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10小題，每小題3分，計30分．每小題只有一個選項是符合題意的）
1． 下列運算正確的是（ ）
A． a3•a2=a6 B． y3÷y=y3 C． （m2n）3=m6n3 D． （x2）3=x5
考點： 同底數冪的除法；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．
分析： 根據同底數冪的乘法，可判斷A，根據同底數冪的除法，可判斷B，根據積的乘方，可判斷C，根據冪的乘方，可判斷D．
解答： 解：A、同底數冪的乘法底數不變指數相加，故A錯誤；
B、底數不變指數相減，故B錯誤；
C、積的乘方等每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，故C正確；
D、冪的乘方底數不變指數相乘，故D錯誤；
故選：C．
點評： 本題考查了同底數冪的除法，利用法則計算是解題關鍵．
2． 剪紙是中華傳統文化中的一塊瑰寶，下列剪紙圖案中不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
考點： 軸對稱圖形．
分析： 根據軸對稱圖形的定義直接判斷得出即可．
解答： 解：A、是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
C、是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
D、不是軸對稱圖形，故此選項正確．
故選：D．
點評： 此題主要考查了軸對稱圖形的性質，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱．
3． 下列式子的變形，不是因式分解的有（ ）
①（x+1）（x?2）=x2?x?2； ②x2?2x+1=x（x?2）+1；
③x2?9y2=（x+3y）（x?3y）； ④x2y?2xy+y=（x2?2x+1）y．
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
考點： 因式分解的意義．
分析： 把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．
解答： 解：①右邊不是整式積的形式，不是因式分解；
②右邊不是整式積的形式，不是因式分解；
③是因式分解；
④右邊的式子還有可以分解的多項式，不是因式分解；
綜上可得不是因式分解的是：①②④，共3個．
故選C．
點評： 本題考查了因式分解的知識，解答本題的關鍵是掌握因式分解的定義．
4． 光年是一種長度單位，它表示光在一年中所通過的距離，已知光每秒的速度為3×105千米，一年以3×107秒計算，一光年約為（ ）
A． 3×1012千米 B． 9×1015千米 C． 9×1035千米 D． 9×1012千米
考點： 科學記數法—表示較大的數．
分析： 科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
解答： 解：將3×105×3×107用科學記數法表示為：9×1012．
故選：D．
點評： 此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
5． 如圖，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，則∠BDC的度數是（ ）
A． 85° B． 80° C． 75° D． 70°
考點： 三角形內角和定理．
分析： 先根據∠A=50°，∠ABC=70°得出∠C的度數，再由BD平分∠ABC求出∠ABD的度數，再根據三角形的外角等于和它不相鄰的內角的和解答．
解答： 解：∵∠ABC=70°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=70°×=35°，
∴∠BDC=50°+35°=85°，
故選：A．
點評： 本題考查的是三角形的外角和內角的關系，熟知三角形的外角等于和它不相鄰的內角的和是解題的關鍵．
6． 如果單項式?x2a?3y2與x3ya+2b?7的和仍為單項式，那么它們的乘積為（ ）
A． ?x6y4 B． ?x3y2 C． ?x6y4 D． x6y4
考點： 單項式乘單項式；合并同類項．
分析： 根據合并同類項法則得出a，b的值，進而利用單項式乘以單項式運算法則求出即可．
解答： 解：∵單項式?x2a?3y2與x3ya+2b?7的和仍為單項式，
∴，
解得：，
故單項式?x3y2與x3y2的乘積為：?x6y4．
故選：C．
點評： 此題主要考查了單項式乘以單項式以及合并同類項法則，得出a，b的值是解題關鍵．
7． 若A=10a2+3b2?5a+5，B=a2+3b2?8a+5，則A?B的值與?9a3b2的公因式為（ ）
A． a B． ?3 C． 9a3b2 D． 3a
考點： 公因式；整式的加減．
分析： 根據合并同類項，可化簡整式，根據公因式是每?都含有的因式，可得答案．
解答： 解：A?B=9a2+3a，
A?B的值與?9a3b2的公因式為3a，
故選：D．
點評： 本題考查了公因式，先合并同類項，再判斷公因式．
8． 對于任意整數n，多項式（n+7）2?（n?3）2的值都能（ ）
A． 被20整除 B． 被7整除 C． 被21整除 D． 被n+4整除
考點： 因式分解-運用公式法．
分析： 直接利用平方差公式分解因式得出即可．
解答： 解：（n+7）2?（n?3）2
=[（n+7）?（n?3）][（n+7）+（n?3）]
=10（2n+4）
=20（n+2），
故多項式（n+7）2?（n?3）2的值都能被20整除．
故選：A．
點評： 此題主要考查了公式法分解因式，熟練應用平方差公式是解題關鍵．
9． 如圖，要設計一幅長為3xcm，寬為2ycm的長方形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫彩條的寬度均為acm，豎彩條的寬度均為bcm，則空白區域的面積是（ ）
A． （6xy?6xa?4by+4ab）cm2 B． （6xy+6xa+4by?4ab）cm2
C． （6xy?6xb?4ay+4ab）cm2 D． （6xy+6xb+4ay?4ab
考點： 整式的混合運算．
專題： 應用題．
分析： ：由長方形面積減去陰影部分面積求出空白區域面積即可．
解答： 解：根據題意得：3x•2y?（3x?2a）（2y?2a）=（6xy?6xa?4by+4ab）cm2．
故選A
點評： 此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
10． 計算（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）的結果為（ ）
A． 235+2 B． 264+1 C． 264?1 D． 232?1
考點： 平方差公式．
分析： 把前面的1變為（2?1），再依次運用平方差公式進行計算即可．
解答： 解：原式=（2?1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1），
=（22?1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1），
=（24?1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1），
=（28?1）（28+1）（216+1）（232+1），
=（216?1）（216+1）（232+1），
=（232?1）（232+1），
=264?1
故選：C．
點評： 本題考查了平方差公式的應用，注意：（a+b）（a?b）=a2?b2．
二、填空題（共8小題，每小題3分，計24分）
11． 若□×6xy=3x3y2，則□內應填的單項式是 x2y ．
考點： 單項式乘單項式．
分析： 利用單項式的乘除運算法則，進而求出即可．
解答： 解：∵□×6xy=3x3y2，
∴□=3x3y2÷6xy=x2y．
故答案為：x2y．
點評： 此題主要考查了單項式的乘除運算，正確掌握運算法則是解題關鍵．
12． 計算（15y3?9y2?3y）÷（?3y）= ?5y2+3y+1 ．
考點： 整式的除法．
專題： 計算題．
分析： 原式利用多項式除以單項式法則計算即可得到結果．
解答： 解：（15y3?9y2?3y）÷（?3y）=?5y2+3y+1，
故答案為：?5y2+3y+1
點評： 此題考查了整式的除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
13． 已知2a+3b+4=0，則?4a?6b的值為 8 ．
考點： 代數式求值．
專題： 計算題．
分析： 由已知等式變形求出2a+3b的值，原式變形后代入計算即可求出值．
解答： 解：由題意得：2a+3b=?4，
則原式=?2（2a+3b）=8，
故答案為：8
點評： 此題考查了代數式求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
14． 若4x2+mx+9是一個完全平方式，則實數m的值是 ±12 ．
考點： 完全平方式．
專題： 常規題型．
分析： 先根據兩平方項確定出這兩個數，再根據完全平方公式的乘積二倍項即可確定k的值．
解答： 解：∵4x2+mx+9=（2x）2+mx+32，
∴mx=±2×2x×3，
解得m=±12．
故答案為：±12．
點評： 本題主要考查了完全平方式，根據平方項確定出這兩個數是解題的關鍵，也是難點，熟記完全平方公式對解題非常重要．
15． 如果（x2?mx+3）（3x?2）的展開式中不含x2項，則m的值是 ．
考點： 多項式乘多項式．
分析： 根據多項式乘以多項式的法則，可表示為（x2?mx+3）（3x?2）=3x3?（3m+2）x2+（2m+9）x?6，再令 x2項系數為0，計算即可．
解答： 解：（x2?mx+3）（3x?2）
=3x3?（3m+2）x2+（2m+9）x?6，
如果（x2?mx+3）（3x?2）的展開式中不含x2項，
則有，3m+2=0
解得，m=?．
故答案為：?．
點評： 本題主要考查多項式乘以多項式的法則．注意不要漏項，漏字母，有同類項的合并同類項．
16． 一個等腰三角形的周長為16，一邊長是6，則它的腰長為 6或5 ．
考點： 等腰三角形的性質；三角形三邊關系．
分析： 題目給出等腰三角形有一邊長為6，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．
解答： 解：∵等腰三角形的周長為16，
∴當6為腰時，它的底長=16?6?6=3，3+6＞6能構成等腰三角形，即它的腰長為6；
當6為底時，它的腰長=（16?6）÷2=5，5+5＞6能構成等腰三角形，即它的腰長也可以為5．
故它的腰長為6或5．
故填6或5．
點評： 本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；本題從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．注意養成檢驗三邊長能否組成三角形的好習慣，把不符合題意的舍去．
17． 若3x=m，9y=n，x，y為正整數，則32x+6y等于 m2n3 ．
考點： 冪的乘方與積的乘方；同底數冪的乘法．
分析： 先求出32y=n，先根據同底數冪的乘法進行計算，再根據冪的乘方變形，最后整體代入求出即可．
解答： 解：∵3x=m，9y=n，
∴32y=n，
∴32x+6y
=32x•36y
=（3x）2•（32y）3
=m2n3，
故答案為：m2n3．
點評： 本題考查了同底數冪的乘法，冪的乘方的應用，能靈活運用法則進行變形是解此題的關鍵，用了整體代入思想．
18． 在日常生活中如取款、上網等都需要密碼．有一種用“因式分解”法產生的密碼，方便記憶．原理是：如對于多項式x4?y4，因式分解的結果是（x?y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9時，則各個因式的值是：（x?y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作為一個六位數的密碼．對于多項式4x3?xy2，取x=10，y=10時，用上述方法產生的密碼是： 101030或103010或301010 （寫出一個即可）．
考點： 因式分解的應用．
專題： 開放型．
分析： 把所求的代數式分解因式后整理成條件中所給出的代數式的形式，然后整體代入即可．
解答： 解：4x3?xy2=x（4x2?y2）=x（2x+y）（2x?y），
當x=10，y=10時，x=10；2x+y=30；2x?y=10，
用上述方法產生的密碼是：101030或103010或301010．
故答案為：101030或103010或301010．
點評： 本題考查了提公因式法，公式法分解因式，讀懂題目信息，正確進行因式分解是解題的關鍵，還考查了代數式求值的方法，同時還隱含了整體的數學思想和正確運算的能力．
三、解答題（共5小題，計46分．解答應寫出過程）
19． 把下列各式分解因式：
（1）x2?（y+2）2；
（2）?20x3y+x4+100x2y2．
考點： 提公因式法與公式法的綜合運用．
專題： 計算題．
分析： （1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
解答： 解：（1）原式=（x+y+2）（x?y?2）；
（2）原式=x2（?20xy+x2+100y2）=x2（x?10y）2．
點評： 此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．
20． 如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，在邊AB上取一點D，使得DB=BC，過點D作EF⊥AC，分別交AC于點E，交CB的延長線于點F，求證：FC=AB+DB．
考點： 全等三角形的判定與性質．
專題： 證明題．
分析： 先根據角的互余關系求出∠A=∠F，再根據AAS證明△ABC≌△FBD，得出對應邊相等，即可得出結論．
解答： 解：∵∠ABC=90°，EF⊥AC，
∴∠A=∠C=90°，∠F+∠C=90°，
∴∠A=∠F，
在△ABC和△FBD中，
，
∴△ABC≌△FBD（AAS），
∴BF=AB，
∴FC=BF+BC=AB+BD．
點評： 本題考查了全等三角形的判定與性質；熟練掌握全等三角形的判定方法證明三角形全等是解決問題的關鍵．
21． 先化簡，再求值：
（1）b（a+b）+（a+2b）（2a?b）?4ab，其中a=?3，b=4；
（2）[（x+3y）（x?3y）+（x+3y）2]÷（?4x），其中x=1，y=．
考點： 整式的混合運算—化簡求值．
專題： 計算題．
分析： （1）原式利用單項式乘以多項式，平方差公式計算，合并得到最簡結果，把a與b的值代入計算即可求出值；
（2）原式利用平方差公式及完全平方公式化簡，再利用多項式除以單項式法則計算得到最簡結果，把x與y的值代入計算即可求出值
解答： 解：（1）原式=ab+b2+2a2?ab+4ab?2b2?4ab=2a2?b2，
當a=?3，b=4時，原式=18?16=2；
（2）原式=（x2?9y2+x2+6xy+9y2）÷（?4x）=（2x2+6xy）÷（?4x）=?，
當x=1，y=時，原式=?．
點評： 此題考查了整式的混合運算?化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
22． 已知“兩點之間，線段最短”，我們經常利用它來解決兩線段和的最小值問題．
（1）實踐運用
唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題??將軍飲馬問題：如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河邊飲馬后，再到B點宿營，請問怎樣走才能使總的路程最短？畫出最短路徑并說明理由．
（2）拓展延伸
如圖2，點P，Q是△ABC的邊AB、AC上的兩個定點，請同學們在BC上找一點R，使得△PQR的周長最短（要求：尺規作圖，不寫作圖過程保留作圖痕跡）．
考點： 軸對稱-最短路線問題；作圖—應用與設計作圖．
分析： （1）從點A出發向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線上，取A′使得A′D=AD，連接A′B，與河岸相交y于C，則C點就是飲馬的地方，此時AC+BC的值最小．
（2）作P點關于BC的對稱點P′，連接P′Q，交BC于R，此時△PQR的周長最短．
解答： 解：（1）如圖1，從點A出發向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線上，取A′使得A′D=AD，連接A′B，與河岸相交y于C，則C點就是飲馬的地方；
證明：如圖1，如果將軍在河邊的另外任意點C′飲馬，所走的路程就是AC′+C′B，因為AC′+C′B＞A′B=AC+BC，所以在C點外任意一點飲馬，所走的路程都要遠些；
（2）尺規作圖，如圖2：
點評： 此題主要考查了作圖?應用與設計作圖，關鍵是掌握在直線L上的同側有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．
23． 我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積時，可以得到一個數學等式，例如由圖1可以得到（a+b）2=a2+2ab+b2．請解答下列問題：
（1）直接寫出圖2中所表示的數學等式 （a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2 ；
（2）寫出圖3中所表示的數學等式，并利用所得到的結論，解決下面的問題：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）圖4中給出了若干個邊長為a和邊長為b的小正方形紙片，若干個長為a、寬為b的長方形紙片，請先寫出數學等式：（2a+b）（a+2b）= 2a2+5ab+2b2 ，再利用所給的紙片拼出一個幾何圖形，驗證該公式．
考點： 多項式乘多項式．
分析： （1）根據數據表示出矩形的長與寬，再根據矩形的面積公式寫出等式的左邊，再表示出每一小部分的矩形的面積，然后根據面積相等即可寫出等式．
（2）根據利用（1）中所得到的結論，將a+b+c=11，ab+bc+ac=38作為整式代入即可求出．
（3）找規律，根據公式畫出圖形，拼成一個長方形，使它滿足所給的條件
解答： 解：（1）根據題意，大矩形的面積為：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2，
故答案為：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（2）根據題意，大矩形的面積為：（a+b+c）（a+b+c）=（a+b+c）2，
各小矩形部分的面積之和=a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2，
∴等式為（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故a2+b2+c2 =（a+b+c）2?2ab?2ac?2bc
=112?2×38
=45；
（3）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；
如圖所示：（答案不唯一）
．
點評： 本題考查了完全平方公式的幾何背景，根據矩形的面積公式分整體與部分兩種思路表示出面積，然后再根據同一個圖形的面積相等即可解答．
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