2014-2015學年黑龍江省伊春市上甘嶺中學八年級（上）第一次月考數學試卷
一、選擇題（每題3分，共30分）
1．小亮截了四根長分別為5cm，6cm，10cm，13cm的木條，任選其中三條組成一個三角形，這樣拼成的三角形共有（ ）
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
2．若一個正n邊形的一個外角為36°，則n等于（ ）
A． 4 B． 6 C． 8 D． 10
3．如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點P，則∠P=（ ）
A． 90°? α B． 90°+ α C． D． 360°?α
4．如圖，已知矩形ABCD，一條直線將該矩形ABCD分割成兩個多邊形，若這兩個多邊形的內角和分別為M和N，則M+N不可能是（ ）
A． 360° B． 540° C． 720° D． 630°
5．已知Rt△ABC中，∠C=90°，將∠C沿DE向三角形內折疊，使點C落在△ABC的內部，如圖，則∠1+∠2=（ ）
A． 90° B． 135° C． 180° D． 270°
6．如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A． CB=CD B． ∠BAC=∠DAC C． ∠BCA=∠DCA D． ∠B=∠D=90°
7．如圖，在等邊△ABC中，D，E分別AC，AB是上的點，且AD=BE，CE與BD交于點P，則∠BPE的度數為（ ）
A． 75° B． 60° C． 55° D． 45°
8．如圖為八個全等正六邊形緊密排列在同一平面上．根據圖中標示的各點位置，與△ACD全等的是（ ）
A． △ACF B． △ABC C． △AED D． △BCF
9．已知△ABC中，AB=5，AC=7，則BC邊上的中線a的取值范圍是（ ）
A． 1＜a＜6 B． 5＜a＜7 C． 2＜a＜12 D． 10＜a＜14
10．∠AOB的平分線上一點P到OA的距離為5，Q是OB上任一點，則（ ）
A． PQ＞5 B． PQ≥5 C． PQ＜5 D． PQ≤5
二、填空題（每題3分，共30分）
11．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E，∠A=45°，∠BDC=60°，則∠BDE= 度．
12．有一個多邊形的內角和是它外角和的5倍，則這個多邊形是 邊形．
13．若從一個多邊形的一個頂點出發，最多可以引10條對角線，則它是 邊形．
14．如圖，計算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠AGF= °．
15．如圖，BE⊥AC，垂足為D，且AD=CD，BD=ED，若∠ABC=54°，則∠E= °．
16．用直尺和圓規作一個角等于已知角，如圖，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依據是（ ）
A． （S、S、S） B． （S、A、S） C． （A、S、A） D． （A、A、S）
17．如圖，已知AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，只需增加一個條件是 （只需添加一個你認為適合的）
18．如所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，結論：①EM=FN；②AF∥EB；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正確的有 ．
19．如圖，已知坐標平面內有兩點A（1，0），B（?2，4），現將AB繞著點A順時針旋轉90°至AC位置，則點C的坐標為 ．
20．一機器人以0.3m/s的速度在平地上按下圖中的步驟行走，那么該機器人從開始到停止所需時間為 s．
三、解答題（共60分）
21．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠BC交AD于點E，∠C=60°，∠BED=70°，求∠ABC和∠BAC的度數．
22．如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=110°．
（1）畫出下列圖形：①BC邊上的高AD；②∠A的角平分線AE．
（2）試求∠DAE的度數．
23．如圖，A點在B處的北偏東40°方向，C點在B處的北偏東85°方向，A點在C處的北偏西45°方向，求∠BAC及∠BCA的度數．
24．小明把兩個大小不相等的等腰直角三角形如圖放置（陰影部分），點D在AC上，連接AE、BD．經分析思考后，小明得出如下結論：
（1）AE=BD；
（2）AE⊥BD．
聰明的你，請判斷小明的結論是否正確，并說明理由．
25．如圖，點B在線段AC上，點E在線段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M、N分別是AE、CD的中點，判斷BM與BN的關系，并說明理由．
26．【問題】：如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A=80°，則∠BEC= ；若∠A=n°，則∠BEC= ．
【探究】：
（1）如圖2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB．若∠A=n°，則∠BEC= ；
（2）如圖3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．若∠A=n°，則∠BEC= ；
（3）如圖4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN．若∠A=n°，則∠BEC= ．
2014-2015學年黑龍江省伊春市上甘嶺中學八年級（上）第一次月考數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題3分，共30分）
1．小亮截了四根長分別為5cm，6cm，10cm，13cm的木條，任選其中三條組成一個三角形，這樣拼成的三角形共有（ ）
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
考點： 三角形三邊關系．
分析： 根據任意兩邊之和大于第三邊判斷能否構成三角形．
解答： 解：選其中3根組成一個三角形，不同的選法有5cm，6cm，10cm；5cm，10cm，13cm；6cm，10cm，13cm；共3種．
故選C．
點評： 本題主要考查了三角形的三邊關系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．當題目指代不明時，一定要分情況討論，把符合條件的保留下來，不符合的舍去．
2．若一個正n邊形的一個外角為36°，則n等于（ ）
A． 4 B． 6 C． 8 D． 10
考點： 多邊形內角與外角．
分析： 利用多邊形的外角和即可解決問題．
解答： 解：n=360°÷36°=10．故選D．
點評： 本題主要考查了正n邊形的外角特點．
因為外角和是360度，所以當多邊形是正多邊形時，每個外角都相等．直接利用外角求多邊形的邊數是常用的方法．
3．如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點P，則∠P=（ ）
A． 90°? α B． 90°+ α C． D． 360°?α
考點： 多邊形內角與外角；三角形內角和定理．
專題： 幾何圖形問題．
分析： 先求出∠ABC+∠BCD的度數，然后根據角平分線的性質以及三角形的內角和定理求解∠P的度數．
解答： 解：∵四邊形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°?（∠A+∠D）=360°?α，
∵PB和PC分別為∠ABC、∠BCD的平分線，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠BCD）= （360°?α）=180°? α，
則∠P=180°?（∠PBC+∠PCB）=180°?（180°? α）= α．
故選：C．
點評： 本題考查了多邊形的內角和外角以及三角形的內角和定理，屬于基礎題．
4．如圖，已知矩形ABCD，一條直線將該矩形ABCD分割成兩個多邊形，若這兩個多邊形的內角和分別為M和N，則M+N不可能是（ ）
A． 360° B． 540° C． 720° D． 630°
考點： 多邊形內角與外角；矩形的性質．
分析： 根據多邊形內角和定理：（n?2）•180°，無論分成兩個幾邊形，其內角和都能被180整除，所以不可能的是，不能被180整除的．
解答： 解：一條直線將該矩形ABCD分割成兩個多邊形，每一個多邊形的內角和都是180°的倍數，都能被180整除，分析四個答案，
只有630不能被180整除，所以M+N不可能是630°．
故選D．
點評： 此題主要考查了多邊形內角和定理，題目比較簡單．
5．已知Rt△ABC中，∠C=90°，將∠C沿DE向三角形內折疊，使點C落在△ABC的內部，如圖，則∠1+∠2=（ ）
A． 90° B． 135° C． 180° D． 270°
考點： 三角形內角和定理；翻折變換（折疊問題）．
分析： 根據折疊的性質∠C′ED=∠CED，∠C′DE=∠CDE，根據三角形內角和定理和鄰補角的定義即可表示出∠C、∠1、∠2之間的關系，進一步求得答案即可．
解答： 解：根據題意得∠C′ED=∠CED，∠C′DE=∠CDE，
由三角形內角和定理可得，∠CED+∠CDE=180°?∠C=90°，
∴∠C′EC+∠C′DC=2（180°?∠C），
∴∠1+∠2=360°?（∠C′EC+∠C′DC）=360°?2（180°?∠C）=2∠C=180°．
故選：C．
點評： 本題主要考查了三角形的內角和定理和鄰補角的定義，需要熟練掌握．
6．如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A． CB=CD B． ∠BAC=∠DAC C． ∠BCA=∠DCA D． ∠B=∠D=90°
考點： 全等三角形的判定．
分析： 本題要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共邊，具備了兩組邊對應相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分別根據SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后則不能．
解答： 解：A、添加CB=CD，根據SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A選項不符合題意；
B、添加∠BAC=∠DAC，根據SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B選項不符合題意；
C、添加∠BCA=∠DCA時，不能判定△ABC≌△ADC，故C選項符合題意；
D、添加∠B=∠D=90°，根據HL，能判定△ABC≌△ADC，故D選項不符合題意；
故選：C．
點評： 本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
7．如圖，在等邊△ABC中，D，E分別AC，AB是上的點，且AD=BE，CE與BD交于點P，則∠BPE的度數為（ ）
A． 75° B． 60° C． 55° D． 45°
考點： 全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．
分析： 根據題干條件：AC=BC，BD=CE，∠A=∠CBE，可以判定△ABD≌△BCE，即可得到∠DBA=∠BCE，又知∠BPE=∠BCE+∠CBP，可得答案．
解答： 解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠A=∠CBE=60°，
又知BD=CE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠DBA=∠BCE，
∵∠BPE=∠BCE+∠CBP，
∴∠BPE=∠ABD+∠CBP=∠ABC=60°，
故選B．
點評： 本題主要考查等邊三角形的性質和全等三角形的判定與性質的知識點，解答本題的關鍵是能看出∠APE=∠ABP+∠BAP，還要熟練掌握三角形全等的判定與性質定理．
8．如圖為八個全等正六邊形緊密排列在同一平面上．根據圖中標示的各點位置，與△ACD全等的是（ ）
A． △ACF B． △ABC C． △AED D． △BCF
考點： 全等三角形的判定．
分析： 根據全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）結合圖形進行判斷即可．
解答： 解：根據圖象可知△ACD和△ADE全等，
理由是：∵根據圖形可知AD=AD，AE=AC，DE=DC，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SSS），
故選：C．
點評： 本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
9．已知△ABC中，AB=5，AC=7，則BC邊上的中線a的取值范圍是（ ）
A． 1＜a＜6 B． 5＜a＜7 C． 2＜a＜12 D． 10＜a＜14
考點： 全等三角形的判定與性質；三角形三邊關系．
分析： 延長AE到D，使AE=DE，通過證明△AEC≌△DEB△，可得BD=AC，根據三角形的三邊關系，得出即可．
解答： 解：延長AE到D，使AE=DE，連接BD．
∵AE是中線，
∴BE=CE，∠AEC=∠DEB，
∴△AEC≌△DEB△（SAS），
∴BD=AC=7，又AE=a，
∴2＜2a＜12，
∴1＜a＜6．
故選A．
點評： 本題主要考查了全等三角形的判定與性質和三角形的三邊關系，三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
10．∠AOB的平分線上一點P到OA的距離為5，Q是OB上任一點，則（ ）
A． PQ＞5 B． PQ≥5 C． PQ＜5 D． PQ≤5
考點： 角平分線的性質．
分析： 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，和角平分線的性質計算．
解答： 解：∠AOB的平分線上一點P到OA的距離為5
則P到OB的距離為5
因為Q是OB上任一點，則PQ≥5
故選B．
點評： 本題主要考查平分線的性質，還利用了“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”．
二、填空題（每題3分，共30分）
11．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E，∠A=45°，∠BDC=60°，則∠BDE= 15 度．
考點： 三角形的外角性質；角平分線的定義；平行線的性質．
專題： 計算題．
分析： 利用三角形的外角性質先求∠ABD，再根據角平分線的定義，可得∠DBC=∠ABD，運用平行線的性質得∠BDE的度數．
解答： 解：∵∠A=45°，∠BDC=60°，
∴∠ABD=∠BDC?∠A=15°．
∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠DBC=∠ABD=15°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=∠DBC=15°．
點評： 本題比較簡單，考查的是平行線的性質及三角形內角與外角的關系．
12．有一個多邊形的內角和是它外角和的5倍，則這個多邊形是 12 邊形．
考點： 多邊形內角與外角．
分析： 一個多邊形的內角和等于它的外角和的5倍，任何多邊形的外角和是360度，因而這個正多邊形的內角和為5×360度．n邊形的內角和是（n?2）•180°，代入就得到一個關于n的方程，就可以解得邊數n．
解答： 解：根據題意，得
（n?2）•180=5×360，
解得：n=12．
所以此多邊形的邊數為12．
點評： 已知多邊形的內角和求邊數，可以轉化為解方程的問題解決．
13．若從一個多邊形的一個頂點出發，最多可以引10條對角線，則它是 13 邊形．
考點： 多邊形的對角線．
分析： 根據多邊形的對角線的定義可知，從n邊形的一個頂點出發，可以引（n?3）條對角線，由此可得到答案．
解答： 解：設這個多邊形是n邊形．
依題意，得n?3=10，
∴n=13．
故這個多邊形是13邊形．
點評： 多邊形有n條邊，則經過多邊形的一個頂點所有的對角線有（n?3）條，經過多邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成（n?2）個三角形．
14．如圖，計算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠AGF= 540 °．
考點： 多邊形內角與外角；三角形的外角性質．
分析： 根據四邊形的內角和是360°，可求∠C+∠B+∠D+∠2=360°，∠1+∠3+∠E+∠F=360°．又由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得∠1=∠A+∠G，而∠2+∠3=180°，從而求出所求的角的和．
解答： 解： 在四邊形BCDM中：∠C+∠B+∠D+∠2=360°，
在四邊形MEFN中：∠1+∠3+∠E+∠F=360°．
∵∠1=∠A+∠G，∠2+∠3=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+360°?180°=540°，
故答案為：540．
點評： 本題考查了多邊形的內角與外角，利用了多邊形的內角和公式，三角形外角的性質，等式的性質．
15．如圖，BE⊥AC，垂足為D，且AD=CD，BD=ED，若∠ABC=54°，則∠E= 27 °．
考點： 全等三角形的判定與性質．
專題： 計算題．
分析： 由BE垂直于AC，且AD=CD，利用線段垂直平分線定理得到AB=CB，即三角形ABC為等腰三角形，利用三線合一得到BE為角平分線，求出∠ABE度數，利用SAS得到三角形ABD與三角形CED全等，利用全等三角形對應角相等即可求出∠E的度數．
解答： 解：∵BE⊥AC，AD=CD，
∴AB=CB，即△ABC為等腰三角形，
∴BD平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE= ∠ABC=27°，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴∠E=∠ABE=27°，
故答案為：27
點評： 此題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．
16．用直尺和圓規作一個角等于已知角，如圖，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依據是（ ）
A． （S、S、S） B． （S、A、S） C． （A、S、A） D． （A、A、S）
考點： 全等三角形的判定與性質；作圖—基本作圖．
分析： 利用SSS可證得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB．
解答： 解：易得OC=0′C'，OD=O′D'，CD=C′D'，那么△OCD≌△O′C′D′，
可得∠A′O′B′=∠AOB，所以利用的條件為SSS，
故選A．
點評： 考查全等三角形“邊邊邊”的判定以及全等三角形的對應角相等這個知識點．
17．如圖，已知AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，只需增加一個條件是 AC=AE （只需添加一個你認為適合的）
考點： 全等三角形的判定．
專題： 開放型．
分析： 根據三角形全等的條件可得出AC=AE，∠C=∠E，∠B=∠D都可以．
解答： 解：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE，
即∠BAC=∠DAE，
∵AB=AD，
∴添加AC=AE，根據SAS即可得證；
或添加∠C=∠E，根據AAS即可得證；
或添加∠B=∠D，根據ASA即可得證．
故答案為AC=AE或∠C=∠E或∠B=∠D．
點評： 本題考查了全等三角形的判定，本題是個簡單的開放型題目，要熟練掌握．
18．如所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，結論：①EM=FN；②AF∥EB；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正確的有 ①③④ ．
考點： 全等三角形的判定與性質．
專題： 綜合題．
分析： 由∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，利用“AAS”得到△ABE與△ACF全等，根據全等三角形的對應邊相等且對應角相等即可得到∠EAB與∠FAC相等，AE與AF相等，AB與AC相等，然后在等式∠EAB=∠FAC兩邊都減去∠MAN，得到∠EAM與∠FAN相等，然后再由∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，利用“ASA”得到△AEM與△AFN全等，利用全等三角形的對應邊相等，對應角相等得到選項①和③正確；然后再∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM，利用“ASA”得到△ACN與△ABM全等，故選項④正確；若選項②正確，得到∠F與∠BDN相等，且都為90°，而∠BDN不一定為90°，故②錯誤．
解答： 解：在△ABE和△ACF中，
∠E=∠F=90°，AE=AF，∠B=∠C，
∴△ABE≌△ACF，
∴∠EAB=∠FAC，AE=AF，AB=AC，
∴∠EAB?∠MAN=∠FAC?∠NAM，即∠EAM=∠FAN，
在△AEM和△AFN中，
∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，
∴△AEM≌△AFN，
∴EM=FN，∠FAN=∠EAM，故選項①和③正確；
在△ACN和△ABM中，
∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM（公共角），
∴△ACN≌△ABM，故選項④正確；
若AF∥EB，∠F=∠BDN=90°，而∠BDN不一定為90°，故②錯誤，
則正確的選項有：①③④．
故答案為：①③④
點評： 此題考查了全等三角形的性質與判別，考查了學生根據圖形分析問題，解決問題的能力．其中全等三角形的判別方法有：SSS，SAS，ASA，AAS及HL．學生應根據圖形及已知的條件選擇合適的證明全等的方法．
19．如圖，已知坐標平面內有兩點A（1，0），B（?2，4），現將AB繞著點A順時針旋轉90°至AC位置，則點C的坐標為 （5，3） ．
考點： 坐標與圖形變化-旋轉．
專題： 幾何變換．
分析： 作BD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，由A（1，0），B（?2，4）得到AD=3，BD=4，根據旋轉的性質得∠BAC=90°，AB=AC，再利用等角的余角相等得∠B=∠CAE，則可證明△ABD≌△CAE，所以AE=BD=4，CE=AD=3，OE=OA+AE=5，然后根據第一象限點的坐標特征寫出C點坐標．
解答： 解：作BD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，如圖，
∵A（1，0），B（?2，4），
∴AD=3，BD=4，
∵AB繞著點A順時針旋轉90°至AC位置，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
而∠BAD+∠B=90°，
∴∠B=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AE=BD=4，CE=AD=3，
∴OE=OA+AE=5，
∴C點坐標為（5，3）．
故答案為：（5，3）．
點評： 本題考查了坐標與圖形變化?旋轉：圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質來求出旋轉后的點的坐標．常見的是旋轉特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
20．一機器人以0.3m/s的速度在平地上按下圖中的步驟行走，那么該機器人從開始到停止所需時間為 160 s．
考點： 多邊形內角與外角．
專題： 圖表型．
分析： 該機器人所經過的路徑是一個正多邊形，利用360°除以45°，即可求得正多邊形的邊數，即可求得周長，利用周長除以速度即可求得所需時間．
解答： 解：360÷45=8，
則所走的路程是：6×8=48m，
則所用時間是：48÷0.3=160s．
故答案是：160．
點評： 本題考查了正多邊形的外角和定理，理解經過的路線是正多邊形是關鍵．
三、解答題（共60分）
21．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠BC交AD于點E，∠C=60°，∠BED=70°，求∠ABC和∠BAC的度數．
考點： 三角形內角和定理．
分析： 先根據垂直的定義得出∠ADB=90°，再根據直角三角形的性質求出∠DBE的度數，由角平分線的性質求出∠ABC的度數，根據三角形內角和定理求出∠BAC的度數即可．
解答： 解：∵AD是BC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBE+∠BED=90°．
∵∠BED=70°，
∴∠DBE=20°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBE=40°．
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴∠BAC=180°?∠ABC?∠C
=180°?40°?60°
=80°．
點評： 本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形的內角和等于180°是解答此題的關鍵．
22．如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=110°．
（1）畫出下列圖形：①BC邊上的高AD；②∠A的角平分線AE．
（2）試求∠DAE的度數．
考點： 作圖—復雜作圖．
分析： （1）利用直角三角板一條直角邊與BC重合，沿BC平移使另一直角邊過A畫BC邊上的高AD即可；再根據角平分線的做法作∠A的角平分線AE；
（2）首先計算出∠BAE的度數，再計算出∠BAD的度數，利用角的和差關系可得答案．
解答： 解：（1）如圖所示：
（2）在△ABC中，∠BAC=180°?11°?40°=30°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ∠BAC=15°，
在Rt△ADB中，∠BAD=90°?∠B=50°，
∴∠DAE=∠DAB?∠BAE=35°．
點評： 此題主要考查了復雜作圖，以及角的計算，關鍵是正確畫出圖形．
23．如圖，A點在B處的北偏東40°方向，C點在B處的北偏東85°方向，A點在C處的北偏西45°方向，求∠BAC及∠BCA的度數．
考點： 三角形內角和定理；方向角；平行線．
專題： 計算題．
分析： 根據方位角的概念，圖中給出的信息，再根據已知結合三角形的內角和求解．
解答： 解：∵∠DBA=40°，∠DBC=85°，DB∥CE，
∴∠ECB=180°?85°=95°，∠ABC=85°?40°=45°，
∵∠ECA=45°，
∴∠BCA=95°?45°=50°，
∴∠BAC=180°?50°?45°=85°．
點評： 解答此類題需要正確理解方位角，再結合三角形的內角和以及平行線的性質求解．
24．小明把兩個大小不相等的等腰直角三角形如圖放置（陰影部分），點D在AC上，連接AE、BD．經分析思考后，小明得出如下結論：
（1）AE=BD；
（2）AE⊥BD．
聰明的你，請判斷小明的結論是否正確，并說明理由．
考點： 全等三角形的判定與性質．
專題： 計算題．
分析： 小明的結論是正確的，理由為：
（1）由三角形EDC與三角形ABC都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質得到兩邊及夾角相等，利用SAS得到三角形ACE與三角形BCD全等，利用全等三角形的性質即可得證；
（2）延長BD交AE于點F，由三角形ACE與三角形BCD全等，利用全等三角形的對應角相等得到∠CAE=∠CBD，利用等式的性質及直角三角形兩銳角互余，即可得證．
解答： 解：小明的結論是正確的，理由為：
（1）在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD；
（2）延長BD交AE于點F，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，
∴∠ABF+∠BAF=∠ABF+∠CAE+∠BAC=∠ABD+∠CBD+∠BAC=∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠BFA=90°，
則AE⊥BD．
點評： 此題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．
25．如圖，點B在線段AC上，點E在線段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M、N分別是AE、CD的中點，判斷BM與BN的關系，并說明理由．
考點： 全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線．
分析： 根據SAS推出△ABE≌△DBC，推出AE=DC，∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB，求出∠ABD=∠DBC=90°，BM=AM=EM= AE，BN=CN=DN= CD，推出∠ABM=∠DBN，∠EBM=∠NBC即可．
解答： 解：BM=BN，BM⊥BN，
理由是：在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=DC，∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB，
∵∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180°，
∴∠ABD=∠DBC=90°，
∵M為AE的中點，N為CD的中點，
∴BM=AM=EM= AE，BN=CN=DN= CD，
∴BM=BN，∠EAB=∠MBA，∠CDB=∠DBN，∠AEB=∠EBA，∠NCB=∠NBC，
∵∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB，
∴∠ABM=∠DBN，∠EBM=∠NBC，
∴∠ABC=2∠DBN+2∠EBM=180°，
∴∠EBN+∠EBM=90°，
∴BM⊥BN．
點評： 本題考查了全等三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線性質，等腰三角形的性質的應用，主要考查學生的推理能力．
26．【問題】：如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A=80°，則∠BEC= 130° ；若∠A=n°，則∠BEC= 90°+ n° ．
【探究】：
（1）如圖2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB．若∠A=n°，則∠BEC= 60°+ n° ；
（2）如圖3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．若∠A=n°，則∠BEC= n° ；
（3）如圖4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN．若∠A=n°，則∠BEC= 90°? n° ．
考點： 三角形內角和定理；三角形的外角性質．
分析： （1）根據角平分線的意義和三角形的內角和解答即可；
（2）根據三角形的內角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°?n°，再由線段BD、BE把∠ABC三等分，線段CD、CE把∠ACB三等分，得到∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB，于是∠EBC+∠ECB= （∠ABC+∠ACB）再根據三角形的內角和定理得到∠BPE的大小；
（3）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，結合三角形的內角和，然后整理即可得到∠BEC與∠A的關系；
（4）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據三角形的內角和定理列式整理即可得解．
解答： 解：問題：如圖1，：∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB（角平分線的定義）
∴∠BEC=180°?（∠EBC+∠ECB）
=180°? （∠ABC+∠ACB）
=180°? （180°?∠A）
=90°+ ∠A；
若∠A=80°，則∠BEC=130°；若∠A=n°，則∠BEC= ．
探究：（1）如圖2，
∵線段BP、BE把∠ABC三等分，
∴∠EBC= ∠ABC，并且BE平分∠PBC；
又∵線段CD、CE把∠ACB三等分，
∴∠ECB= ∠ACB，并且EC平分∠PCB；
∴∠EBC+∠ECB= （∠ABC+∠ACB）= （180°?∠A）
∴∠BEC=180°? （180°?∠A）=60°+∠A，
若∠A=n°，則∠BEC= ；
（2）如圖3，
∵BE和CE分別是∠ABC和∠ACM的角平分線，
∴∠EBC= ∠ABC，∠ACE= ∠ACM，
又∵∠ACM是△ABC的一外角，
∴∠ACM=∠A+∠ABC，
∴∠ACE= （∠A+∠ABC）= ∠A+∠EBC，
∵∠ACM是△BEC的一外角，
∴∠BEC=∠ACE?∠EBC= ∠A+∠EBC?∠EBC= ∠A；
若∠A=n°，則∠BEC= ；
（3）如圖4，
∠EBC= （∠A+∠ACB），∠ECB= （∠A+∠ABC），
∠BEC=180°?∠EBC?∠ECB，
=180°? （∠A+∠ACB）? （∠A+∠ABC），
=180°? ∠A? （∠A+∠ABC+∠ACB），
∠BEC=90°? ∠A．
若∠A=n°，則∠BEC= ．
故答案為：130°，90°+ n°；60°+ n°； n°；90°? n°．
點評： 本題考查了三角形的外角性質與內角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．
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