2018-2019學年河南省開封市西北片區聯考八年級（下）期中數學試卷
　
一、選擇題：（每題3分，共30分）
1．（3分）下列各組數中，能構成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．1，1，  C．6，8，11 D．5，12，23
2．（3分）下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（　　）
A．  B．  C．  D．
3．（3分）若x＜0，則 的結果是（　　）
A．0 B．?2 C．0或?2 D．2
4．（3分）如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOB =60°，AB=2，則矩形的對角線AC的長是（　　）
 
A．2 B．4 C．2  D．4
5．（3分）菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示．∠AOC=45°，OC= ，則點B的坐標為（　　）
 
A．（ ，1） B．（1， ） C．（ +1，1） D．（1，  +1）
6．（3分）如下圖過矩形ABCD的四個頂點作對角線AC、BD的平行線，分別交于E、F、G、H四點，則四邊形EFGH為（　　）
 
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7．（3分）已知如圖，折疊長方形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，則EC=（　　）
 
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（3分）如圖，▱ABCD的周長為20cm，AC與BD相交于點O，OE⊥AC交AD于E，則△CDE的周長為（　　）
 
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
9．（3分）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點E在BC上，AE=BE，點F是CD的中點，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，則CE的長為（　　）
 
A．  B．  C．2.5 D．2.3
10．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4．則S1+S2+S3+S4等于（　　）
 
A．14 B．16 C．18 D．20
　
二、填空題：（每題3分，共15分）
11．（3分）二次根式 有意義的條件是　   　．
12．（3分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，使它為矩形的條件可以是　   　．
 
13．（3分）如圖所示，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為24，則OH的長等于　   　．
 
14．（3分）我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．若一個四邊形ABCD的中點四邊形是一個矩形，則四邊形ABCD可以是　   　．
15．（3分）如圖，在▱ABCD中，E，F是對角線AC上的兩點且AE=CF，在①BE=DF；②BE∥DF；③AB=DE；④四邊形EBFD為平行四邊形；⑤S△ADE=S△ABE；⑥AF=CE這些結論中正確的是　   　．
 
　
三、解答題：（六大題，共55分）
16．（5分）已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a4+b2c2=b4+a2c2，試判斷△ABC的形狀．
閱讀下面解題過程：
解：由a4+b2c2=b4+a2c2得：a4?b4=a2c2?b2c2①
（a2+b2）（a2?b2）=c2（a2?b2）  ②
即 a2+b2=c2③
∴△ABC 為RT△．④
試問：以上解題過程是否正確：　   　．
若不正確，請指出錯在哪一步？　   　（填代號）
錯誤原因是　   　．
本題的結論應為　   　．
17．（20分）計算題：
（1）         
（2）（  ）?（  ）
（3）（2 ）（2 ）
（4）（4 ）
18．（6分）小東拿著一根長竹竿進一個寬為3米的門，他先橫著拿，進不去，又豎起來拿，結果竿比門高1米，當他把竿斜著時，兩端剛好頂著門的對角，問：竿長多少米？
19．（6分）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE．
（1）求證：四邊形AEBD是矩形；
（2）直接寫出當△ABC滿足　   　條件時，矩形AEBD是正方形．
 
20．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC=45°，E、F分別在CD和BC的延長線上，AE∥BD，∠EFC=30°，AB=2．求CF的長．
 
21．（10分）如圖1，將△ABC紙片沿中位線EH折疊，使點A的對稱點D落在BC邊上，再將紙片分別沿等腰△BED和等腰△DHC的底邊上的高線EF，HG折疊，折疊后的三個三角形拼合形成一個矩形，類似地，對多邊形進行折疊，若翻折后的圖形恰能拼成一個無縫隙、無重疊的矩形，這樣的矩形稱為疊合矩形．
（1）將▱ABCD紙片按圖2的方式折疊成一個疊合矩形AEFG，則操作形成的折痕分別是線段　   　，　   　；S矩形AEFG：S▱ABCD=　   　．
（2）平行四邊形ABCD紙片還可以按圖3的方式折疊成一個疊合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的長．
（3）如圖4，四邊形ABCD紙片滿足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把該紙片折疊，得到疊合正方形，請你幫助畫出疊合正方形的示意圖，并求出AD、BC的長．
 
　
 

2018-2019學年河南省開封市西北片區聯考八年級（下）期中數學試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題：（每題3分，共30分）
1．（3分）下列各組數中，能構成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．1，1，  C．6，8，11 D．5，12，23
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能構成直角三角形，故A錯誤；
B、∵12+12= ，∴能構成直角三角形，故B正確；
C、∵62+82≠112，∴不能構成直角三角形，故C錯誤；
D、∵52+122≠232，∴不能構成直角三角形，故D錯誤．
故選：B．
　
2．（3分）下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（　　）
A．  B．  C．  D．
【解答】解：因為：B、 =4 ；
C、 = ；
D、 =2 ；
所以這三項都不是最簡二次根式．故選A．
　
3．（3分）若x＜0，則 的結果是（　　）
A．0 B．?2 C．0或?2 D．2
【解答】解：若x＜0，則 =?x，
∴ = = =2，
故選：D．
　
4．（3分）如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOB=60°，AB=2，則矩形的對角線AC的長是（　　）
 
A．2 B．4 C．2  D．4
【解答】解：因為在矩形ABCD中，所以AO= AC= BD=BO，
又因為∠AOB=60°，所以△AOB是等邊三角形，所以AO=AB=2，
所以AC=2AO=4．
故選：B．
　
5．（3分）菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示．∠AOC=45°，OC= ，則點B的坐標為（　　）
 
A．（ ，1） B．（1， ） C．（ +1，1） D．（1，  +1）
【解答】解：作CD⊥x軸于點D，
∵四邊形 OABC是菱形，OC= ，
∴OA=OC= ，
又∵∠AOC=45°
∴△ OCD為等腰直角三角形，
∵OC=  ，
∴OD=CD=OC×sin∠COD=OC×sin45°=1，
則點C的坐標為（1，1），
又∵BC=OA= ，
∴B的橫坐標為OD+BC=1+ ，
B的縱坐標為CD=1，
則點B的坐標為（ +1，1）．
故選：C．
 
　
6．（3分）如下圖過矩形ABCD的四個頂點作對角線AC、BD的平行線，分別交于E、F、G、H四點，則四邊形EFGH為（　　）
 
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【解答】解：由題意知，HG∥EF∥AC，EH∥FG∥AC，HG=EF=AC，EH=FG=BD
∴四邊形EFHG，AHGC，AEFC都是平行四邊形，
∴HG=AC，EH=BD
又∵矩形的對角線相等，
∴AC=BD，
∴EH=HG，
∴平行四邊形EFHG是菱形．
故選：C．
　
7．（3分）已知如圖，折疊長方形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，則EC=（　　）
 
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：根據折疊方式可得：△AED≌△AEF ，
∴AF=AD=BC=10cm，DE=EF，
設EC=xcm，則DE=（8?x）cm．
∴EF=（8?x）cm，
在Rt△ABF中，BF= =6cm，
∴FC=BC?BF=4cm．
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+FC2=EF2，
即：x2+42=（8?x）2，
解得x=3．
∴EC的長為3cm．
故選：A．
　
8．（3分）如圖，▱ABCD的周長為20cm，AC與BD相交于點O，OE⊥AC交AD于E，則△CDE的周長為（　　）
 
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，
∵▱ABCD的周長為20cm，
∴AD+DC=10cm，
又∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周長=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm；
故選：C．
　
9．（3分）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點E在BC上，AE=BE，點F是CD的中點，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，則CE的長為（　　）
 
A．  B．  C．2.5 D．2.3
【解答】解：延長AF、BC交于點G．
∵AD∥B C，
∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G．
又DF=CF，
∴△AFD≌△GFC．
∴AG=2AF=8，CG=AD=2.7．
∵AF⊥AB，AB=6，
∴BG=10．
∴BC=BG?CG=7.3．
∵ AE=BE，
∴∠BAE=∠B．
∴∠EAG=∠AGE．
∴AE=GE．
∴BE= BG=5．
∴CE=BC?BE=2.3．
故選：D．
 
　
10．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4．則S1+S2+S3+S4等于（　　）
 
A．14 B．16 C．18 D．20
【解答】解：過F作AM的垂線交AM于D，
可證明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2=SRt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可進一步證得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3=S△FPT，
又可證得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3=SRt△AQF=SRt△ABC．
易證Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4=SRt△ABC，
∴S1+S2+S3+S4
=（S1+S3）+S2+S4
=SRt△ABC+SRt△ABC+SRt△ABC
=SRt△ABC×3
=4×3÷2×3
=18．
故選：C．
 
　
二、填空題：（每題3分，共15分）
11．（3分）二次根式 有意義的條件是　x≥0，且x≠9　．
【解答】解：根據題意，得
 ，
解得，x≥0，且x≠9；
故答案是：x≥0，且x≠9．
　
12．（3分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，使它為矩形的條件可以是　AC=BD或∠BAD=90°等（答案不唯一）　．
 
【解答】解：因為四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，
所以四邊形ABCD是平行 四邊形，
要判斷平行四邊形ABCD是矩形，
根據矩形的判定定理，
故填：∠BAD=90°或AC=BD等．
　
13．（3分）如圖所示，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為24，則OH的長等于　3　．
 
【解答】解：∵菱形ABCD的周長等于24，
∴AD= =6，
在Rt△AOD中，OH為斜邊上的中線，
∴OH= AD=3．
故答案為：3．
　
14．（3分）我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．若一個四邊形ABCD的中點四邊形是一個矩形，則四邊形ABCD可以是　對角線互相垂直的四邊形　．
【解答】解：∵四邊形ABCD的中點四邊形是一個矩形，
∴四邊形ABCD的對角線一定垂直，只要符合此條件即可，
∴四邊形ABCD可以是對角線互相垂直的四邊形．
　
15．（3分）如圖，在▱ABCD中，E，F是對角線AC上的兩點且AE=CF，在①BE=DF；②BE∥D F；③AB=DE；④四邊形EBFD為平行四邊形；⑤S△ADE=S△ABE；⑥AF=CE這些結論中正確的是　①②④⑤⑥　．
 
【解答】解：
連接BD交AC于O，過D作DM⊥AC于M，過B作BN⊥AC于N，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DO=BO，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴BE=DF，BE∥DF，∴①正確；②正確；④正確；
∵根據已知不能推出AB=DE，∴③錯誤；
∵BN⊥AC，DM⊥AC，
∴∠BNO=∠DMO=90°，
在△BNO和△DMO中
 
∴△BN O≌△DMO（AAS），
∴BN=DM，
∵S△ADE= ×AE×DM，S△ABE= ×AE×BN，
∴S△ADE=S△ABE，∴⑤正確；
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，∴⑥正確；
故答案為：①②④⑤⑥．
　
三、解答題：（六大題，共55分）
16．（5分）已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a4+b2c2=b4+a2c2，試判斷△ABC的形狀．
閱讀下面解題過程：
解：由a4+b2c2=b4+a2c2得：a4?b4=a2c2?b2c2①
（a2+b2）（a2?b2）=c2（a2?b2）  ②
即 a2+b2=c2③
∴△ABC 為RT△．④
試問：以上解題過程是否正確：　不正確　．
若不正確，請指出錯在哪一步？　③　（填代號）
錯誤原因是　等式的兩邊同除以a2?b2時，必須a2?b2≠0，但這里不確定a2?b2≠0　．
本題的結論應為　△ABC為等腰三角形或直角三角形　．
【解答】解：這個解題過程不正確．③有問題，
理由：等式的兩邊同除以 a2?b2 時，必須 a2?b2≠0，但這里不確定 a2?b2≠0，
由a4+b2c2=b4+a2c2得：a4?b4=a2c2?b2c2①
（a2+b2）（a2?b2）=c2（a2?b2）  ②
（a2?b2）（a2+b2?c2）=0，
∴a=b或a2+b2=c2，
∴△ABC 為等腰三角形或直角三角形．
故答案為：不正確，③，等式的兩邊同除以 a2?b2時，必須 a2?b2≠0，但這里不確定 a2?b2≠0，△ABC 為等腰三角形或直角三角形；
　
17．（20分）計算題：
（1）         
（2）（  ）?（  ）
（3）（2 ）（2 ）
（4）（4 ）
【解答】解：（1）原式=3 ?4 +
=0；
（2）原式=2 + ? +
=3 + ；
（3）原式=12?6
=6；
（4）原式=2? ．
　
18．（6分）小東拿著一根長竹竿進一個寬為3米的門，他先橫著拿，進不去，又豎起來拿，結果竿比門高1米，當他把竿斜著時，兩端剛好頂著門的對角，問：竿長多少米？
【解答】解：設竿長x米，則城門高（x?1）米，根據題意得
x2=（x?1）2+32 ，
解得x=5．
答：竿長5米．
　
19．（6分）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE．
（1）求證：四邊形AEBD是矩形；
（2）直接寫出當△ABC滿足　∠BAC=90°　條件時，矩形AEBD是正方形．
 
【解答】（1）證明：∵點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，
∴四邊形AEBD是平行四邊形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四邊形AEBD是矩形；

（2）當∠BAC=90°時，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四邊形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
故答案是：∠BAC=90°．
　
20．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC=45°，E、F分別在CD和BC的延長線上，AE∥BD，∠EFC=30°，AB=2．求CF的長．
 
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=DC，
∵AE∥DB，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AB=DE=CD，即D為CE中點，
∵AB=2，
∴CE=4，
∵AB∥CD，
∴∠ECF=∠ABC=45°，
過E作EH⊥BF于點H，
∵CE=4，∠ ECF=45°，
∴EH=CH=2 ，
∵∠EFC=30°，
∴FH=2 ，
∴CF=2 +2 ．
 
　
21．（10分）如圖1，將△ABC紙片沿中位線EH折疊，使點A的對稱點D落在BC邊上，再將紙片分別沿等腰△BED和等腰△DHC的底邊上的高線EF，HG折疊，折疊后的三個三角形拼合形成一個矩形，類似地，對多邊形進行折疊，若翻折后的圖形恰能拼成一個無縫隙、無重疊的矩形，這樣的矩形稱為疊合矩形．
（1）將▱ABCD紙片按圖2的方式折疊成一個疊合矩形AE FG，則操作形成的折痕分別是線段　AE　，　GF　；S矩形AEFG：S▱ABCD=　1：2　．
（2）平行四邊形ABCD紙片還可以按圖3的方式折疊成一個疊合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的長．
（3）如 圖4，四邊形ABCD紙片滿足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把該紙片折疊，得到疊合正方形，請你幫助畫出疊合正方形的示意圖，并求出AD、BC的長．
 
【解答】解：（1）根據題意得：操作形成的折痕分別是線段AE、GF；
由折疊的性質得：△ABE≌△AHE，四邊形AHFG≌四邊形DCFG，
∴△ABE的面積=△AHE的面積，四邊形AHFG的面積=四邊形DCFG的面積，
∴S矩形AEFG= S▱ABCD，
∴S矩形AEFG：S▱ABCD=1：2；
故答案為：AE，GF，1：2；

（2）∵四邊形EFGH是矩形，EF=5，EH=12，∠FEH=90°，
∴FH= = =13，
由折疊的性質得：DH=NH，AH=HM，CF=FN，
∴CF=AH，
∴AD=DH+AH=HN+FN=FH=13；

（3）有以下兩種基本折法：
①折法1中，如圖4所示：
 
由折疊的性質得：AD=BG，AE=BE= AB=4，CF=DF= CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，
∵四邊形EFMB是疊合正方形，
∴BM=FM=4，
∴GM=CM= = =3，
∴AD=BG=BM?GM=1，BC=BM+CM=7；
②折法2中，如圖5所示：
 
由折疊的性質得：四邊形EMHG的面積= 梯形ABCD的面積，AE=BE= AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MN=MC，
∴GH= CD=5，
∵四邊形EMHG是疊合正方形，
∴EM=GH=5，正方形EMHG的面積=52=25，
∵∠B=90°，
∴FM=BM= =3，
設AD=x，則MN=FM+FN=3+x，
∵梯形ABCD的面積= （AD+BC）×8=2×25，
∴AD+BC= ，
∴BC= ?x，
∴MC=BC?BM= ?x?3，
∵MN=MC，
∴3+x= ?x?3，
解得：x= ，
∴AD= ，BC= ? = ．